Cuatro círculos

Problema 8 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una circunferencia de radio R trazamos una una circunferencia tangente a la circunferencia y al diámetro, que vemos en este caso de color rojo. Su radio será r.

Seguro que sabemos deducir que el radio de esta circunferencia es r = R/2.

A continuación trazamos una circunferencia de radio s tangente a la circunferencia de color rojo, al diámetro y a la circunferencia inicial, en el dibujo de color azul. Se pide como primer dato la relación entre s y R, es decir, el valor k que cumple s = k·R.

Por último, trazamos una circunferencia de radio t, tangente a la circunferencia de radio s anterior, al diámetro y a la circunferencia inicial, que en el dibujo vemos de color naranja. Se pide la relación entre t y R, es decir, el valor h que cumple t = h·R.

Solución: Aquí.

Solución a tres cuadrados en otro cuadrado

Problema 7 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sobre la diagonal de un cuadrado se sitúan dos puntos que se usan para construir tres cuadrados de forma que el cuadrado central tiene la misma área que la suma de las otras dos.

Razona con todo detalle y precisión cuánto mide el ángulo que se forma en un vértice del cuadrado contenedor que no esté en la diagonal al unirlo con los dos vértices de la diagonal del cuadrado central.

Solución:
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Tres cuadrados en otro cuadrado

Problema 7 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sobre la diagonal de un cuadrado se sitúan dos puntos que se usan para construir tres cuadrados de forma que el cuadrado central tiene la misma área que la suma de las otras dos.

Razona con todo detalle y precisión cuánto mide el ángulo que se forma en un vértice del cuadrado contenedor que no esté en la diagonal al unirlo con los dos vértices de la diagonal del cuadrado central.

Solución: Aquí.

Solución a escalera mecánica

Problema 6 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Enrique y Francisca deben subir una larga escalera mecánica que está en marcha.

Como tienen prisa, mientras funciona la escalera, ellos avanzan más rápido porque van subiendo escalones de uno en uno.

Enrique sube escalones tres veces más rápido que Francisca.

Cuando llegan arriba del todo, Enrique ha subido e escalones, y Francisca ha subido f.

¿Cuántos escalones habrían tenido que subir si la escalera hubiese estado parada (en función de esos dos valores)?

Nota: los concursantes recibían dos valores concretos, diferentes para cada persona.
Solución:
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Escalera Mecánica

Problema 6 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Enrique y Francisca deben subir una larga escalera mecánica que está en marcha.

Como tienen prisa, mientras funciona la escalera, ellos avanzan más rápido porque van subiendo escalones de uno en uno.

Enrique sube escalones tres veces más rápido que Francisca.

Cuando llegan arriba del todo, Enrique ha subido e escalones, y Francisca ha subido f.

¿Cuántos escalones habrían tenido que subir si la escalera hubiese estado parada (en función de esos dos valores)?

Nota: los concursantes recibían dos valores concretos, diferentes para cada persona.
Solución: Aquí.

Solución a piratas

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el más joven) tiene una moneda más que el siguiente más joven.

A continuación, cada día se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los demás.

Encontrar el mayor número de monedas que un pirata puede llegar a tener.
Solución:
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Piratas

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el más joven) tiene una moneda más que el siguiente más joven.

A continuación, cada día se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los demás.

Encontrar el mayor número de monedas que un pirata puede llegar a tener.
Solución: Aquí.

Solución a igualdad y conclusión

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a1, a2, a3, a4, a5 y a6 números reales diferentes, de manera que ninguno de ellos es igual a 0.

Supongamos que (a1² + a2² + a3² + a4² + a5²)(a2² + a3² + a4² + a5² + a6²) = (a1a2 + a2a3 +a3a4 + a4a5 + a5a6)².

Demuestra que los números a1, a2, a3, a4, a5 y a6 están en progresión geométrica.

Solución:
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