Caminos

Problema 3 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Cuántos caminos diferentes podemos elegir entre A y B?

Debemos seguir el camino de las flechas, y no podemos recorrer un tramo de camino dos veces.

Ciertos tramos se pueden recorrer en ambos sentidos, pero sólo una vez.

La respuesta debe ser una potencia de 2.

Solución a área sombreada

Problema 2 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El área sombreada de la figura siguiente mide a·π para cierto número entero a.

¿Cuál es el valor de a?

Por si no aprecias bien la figura, se trata de un cuarto de circunferencia dentro del cual se ha cortado una circunferencia tangente a uno de los radios que la limitan. El único dato es que la longitud del segmento tangente paralelo al radio al que es tangente la circunferencia interior mide, desde el radio que limita el cuarto de circunferencia hasta la propia circunferencia, 12 unidades. El dato del área se debe expresar, como es habitual, en unidades cuadradas.

Solución:
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Área sombreada

Problema 2 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El área sombreada de la figura siguiente mide a·π para cierto número entero a.

¿Cuál es el valor de a?

Por si no aprecias bien la figura, se trata de un cuarto de circunferencia dentro del cual se ha cortado una circunferencia tangente a uno de los radios que la limitan. El único dato es que la longitud del segmento tangente paralelo al radio al que es tangente la circunferencia interior mide, desde el radio que limita el cuarto de circunferencia hasta la propia circunferencia, 12 unidades. El dato del área se debe expresar, como es habitual, en unidades cuadradas.

Solución: Aquí.

Solución a hoja de cálculo

Problema 1 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ponemos los números enteros positivos en la cuadrícula de una hoja de cálculo como indica la imagen, es decir, en la primera columna (A) ponemos del 1 al 9 desde arriba, la fila 1, hasta abajo, en la fila 9. A continuación, en la columna B ponemos los números del 10 al 18, empezando por la fila 9 y acabando por la 1, en la C volvemos a empezar por la fila 1 para poner los del 19 al 27, y así sucesivamente.

Como es habitual en las hojas de cálculo, las 26 primeras columnas están etiquetadas de la A a la Z, las 26 siguientes de la AA a la AZ, y así sucesivamente.

¿En qué casilla queda el número 2020?

Solución:
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Hoja de cálculo

Problema 1 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ponemos los números enteros positivos en la cuadrícula de una hoja de cálculo como indica la imagen, es decir, en la primera columna (A) ponemos del 1 al 9 desde arriba, la fila 1, hasta abajo, en la fila 9. A continuación, en la columna B ponemos los números del 10 al 18, empezando por la fila 9 y acabando por la 1, en la C volvemos a empezar por la fila 1 para poner los del 19 al 27, y así sucesivamente.

Como es habitual en las hojas de cálculo, las 26 primeras columnas están etiquetadas de la A a la Z, las 26 siguientes de la AA a la AZ, y así sucesivamente.

¿En qué casilla queda el número 2020?

Solución: Aquí.

Solución a número de divisores

Problema 15 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Consideramos el conjunto An = {1, 2, 3, … , 10n – 1, 10n} de todos los enteros positivos desde el 1 hasta el 10n.

a) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 2 o múltiplos de 3.

b) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 8 o múltiplos de 11.

Nota. La o no es exclusiva, es decir, que hay que incluir en el recuento los que sean múltiplos de ambos números. Naturalmente, la respuesta se dará en función de n, aunque es posible que algunos casos se deban detallar.
Solución:
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Número de divisores

Problema 15 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Consideramos el conjunto An = {1, 2, 3, … , 10n – 1, 10n} de todos los enteros positivos desde el 1 hasta el 10n.

a) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 2 o múltiplos de 3.

b) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 8 o múltiplos de 11.

Nota. La o no es exclusiva, es decir, que hay que incluir en el recuento los que sean múltiplos de ambos números. Naturalmente, la respuesta se dará en función de n, aunque es posible que algunos casos se deban detallar.
Solución: Aquí.

Solución a un hexágono en un triángulo

Problema 14 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En un triángulo acutángulo trazamos, desde el punto medio de cada lado, las dos perpendiculares a los otros dos lados.
Justifica que estas 6 rectas forman un hexágono.

¿Qué valor tiene la razón entre las áreas del triángulo y del hexágono?

Demuestra que la razón que has calculado es constante, es decir, no depende de cuál sea el triángulo inicial.

Solución:
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