Perpendicular en un cuadrilátero

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero.

Sean J e I los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente.

Sea G el punto de la recta BC tal que DG es perpendicular a BC y sea H el punto de la recta AD tal que CH es perpendicular a AD.

Las rectas DG y CH se cortan en el punto K.

Sea E el punto de la recta BC tal que AE es perpendicular a BC y sea F el punto de la recta AD tal que BF es perpendicular a AD.

Las rectas AE y BF se cortan en el punto L.

Probar que KL es perpendicular a JI.

Solución a “Dos polinomios muy parecidos”

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea P(x) un polinomio de grado 5, y sean a y b dos números reales diferentes de 0.

Supongamos que el resto de P(x) al dividirlo por x³ + ax + b es igual al resto al dividirlo por x³ + ax² + b.

Determinar el valor de a + b.

Solución:
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Dos polinomios muy parecidos

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea P(x) un polinomio de grado 5, y sean a y b dos números reales diferentes de 0.

Supongamos que el resto de P(x) al dividirlo por x³ + ax + b es igual al resto al dividirlo por x³ + ax² + b.

Determinar el valor de a + b.

Solución: Aquí.

Solución a “Sumas de números formadas por unos”

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Hallar el menor entero positivo n tal que la suma de n sumandos

A(n) = 1 + 11 + 111 + … + 11…1

es divisible por 45.

Solución:
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Solución a “Lucas Cuentas”

Problema 4 del nivel A de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 12 -13 años

En el cementerio de mi pueblo, hay una lápida en la que figura la siguiente inscripción: “Aquí yace Lucas Cuentas, muerto en 1971. Vivió tantos años como la suma de las cifras de su año de nacimiento”.

Calcula en qué año nació y cuánto vivió.

Solución:
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Lucas Cuentas

Problema 4 del nivel A de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 12 -13 años

En el cementerio de mi pueblo, hay una lápida en la que figura la siguiente inscripción: “Aquí yace Lucas Cuentas, muerto en 1971. Vivió tantos años como la suma de las cifras de su año de nacimiento”.

Calcula en qué año nació y cuánto vivió.

Solución: Aquí.

Solución a “Meteorito”

Problema 3 del nivel C de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 10 -11 años

Un pequeño meteorito ha caído a la Tierra. Su impacto ha generado una zona de alta contaminación que abarca un cuadrado de 1 km de lado.

Los científicos de la Sociedad Geológica han prohibido que nadie se acerque a la zona a una distancia menor o igual a 1 km de cualquier punto contaminado.

a) Realiza el dibujo de la zona total no habitable delimitada por el perímetro decretado.

b) ¿Cuántos km2 son ahora inhabitables?

Solución:
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Meteorito

Problema 3 del nivel C de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 10 -11 años

Un pequeño meteorito ha caído a la Tierra. Su impacto ha generado una zona de alta contaminación que abarca un cuadrado de 1 km de lado.

Los científicos de la Sociedad Geológica han prohibido que nadie se acerque a la zona a una distancia menor o igual a 1 km de cualquier punto contaminado.

a) Realiza el dibujo de la zona total no habitable delimitada por el perímetro decretado.

b) ¿Cuántos km2 son ahora inhabitables?

Solución: Aquí.

Solución a “Sucesión de triángulos”

Problema 3 del nivel B de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

La figura se ha construido a partir de un triángulo equilátero de lado 2²⁰²² mediante la construcción sucesiva de triángulos equiláteros de lado la mitad del lado anterior.

Calcula el perímetro exterior de la figura, sabiendo que el lado del último triángulo dibujado es de longitud 2⁰ = 1.

Pista: 1 + 2 + 4 +… + 2^n = 2^(n + 1) – 1.


Solución:
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