Problema 3 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Ariadna ha de sumar el conjunto de los 125 números capicúas de 5 cifras en los que todas y cada una de las cifras que los forman son impares.
Sin embargo, a la hora de calcular la suma se ha dejado uno de los números y sólo ha sumado 124.
Ha obtenido el número 6 913 262.
¿Cuál es el número que no ha sumado?
Solución:
Lo primero que debemos hacer es encontrar una manera rápida de sumar estos 125 números. Si nos fijamos bien, 25 de los 125 tendrán en cada cifra el número 1, otros 25 tendrán la cifra 3, y así sucederá con cada una de las cifras impares 1, 3, 5, 7, y 9, es decir, que cada una de las cifras estará sumada 25 veces en cada una de las posiciones.
De esta forma, al sumar las unidades, obtendremos 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 un total de 25 veces, es decir, 625.
Ese mismo resultado lo obtendremos al sumar las decenas, las centenas, las unidades de millar y las decenas de millar. En total, la suma debería de dar 625·11 111 = 6 944 375.
Puesto que ha obtenido 6 913 262, vemos que la diferencia es 31 113, que corresponde al número que Ariadna no ha sumado.
