La música de las figuras de Lissajous

La música es el placer que experimenta la mente humana al
contar sin darse cuenta de que está contando.
Gottfried Leibniz

Las matemáticas son la música de la razón.
James Joseph Sylvester

El sonido es el fenómeno físico que estimula el sentido del oído y se produce debido a la vibración de un cuerpo, ya sea el mecanismo de un piano, un trombón, o nuestras propias manos o cuerdas vocales:

Las vibraciones llegan a nuestros tímpanos, los cuales las transmiten hacia nuestro cerebro a través de un conjunto de pequeños huesos en las ramificaciones del nervio auditivo. Finalmente, nuestro cerebro interpreta el mensaje recibido en términos matemáticos, tal y como veremos.

La capacidad de crear arte, así como lo entendemos, es una característica propia del ser humano. El arte de los sonidos es la música, y el diapasón es quizás el “instrumento” musical más sencillo. Está formado por un pequeño mango y dos puntas conformando una estructura de U. Cuando se golpea, las puntas comienzan a vibrar. El movimiento de las puntas hacia un lado y hacia otro agita las moléculas de aire circundantes y, voilà, se hizo el sonido.

Matemáticamente, el sonido puro del diapasón puede representarse mediante la función seno, cuya onda completa (es decir, durante 360º grados), se produce en un tiempo determinado, y define lo que se conoce como un movimiento armónico simple.

El seno es una función trigonométrica de vital importancia en muchas áreas, por ejemplo, esta que nos ocupa. Como ya sabrá el lector, esta función puede obtenerse a partir de la medida de ciertas longitudes, dependiendo del ángulo en la circunferencia de radio unidad:

Tranquilos, podríamos hablar “eternamente” sobre la función seno, pero no entraremos en muchos detalles. Notemos, en primer lugar, que la función seno es periódica de periodo , es decir, f(x)=f(x+2π), y, por tanto, dar la representación gráfica en el periodo [0,2π] es suficiente para conocer su pinta en toda la recta real. Los movimientos armónicos simples (como el movimiento oscilatorio de un péndulo o el sonido) pueden escribirse en términos de la función seno como sigue:

f(x)=A sin(ωx+t).

Los tres parámetros que aparecen en esta función son A, que se conoce como la amplitud; ω, relacionada con la frecuencia (tal y como veremos más adelante); y t, denominado fase. Observemos cómo cambia la gráfica de f al variar cada uno de los parámetros.

Si variamos A, la función presenta oscilaciones más grandes:

Si variamos el parámetro ω, se obtienen más o menos repeticiones:

Y, por último, si variamos la fase t, podemos decir que nos adelantamos o retrasamos en la emisión del sonido y la onda parece moverse:

Invitamos al lector a jugar con los tres parámetros a la vez en la siguiente hoja de trabajo de Geogebra Observe en particular cómo la variación de cada uno de los parámetros no afecta a las demás características. Por ejemplo, variar el parámetro ω no afecta a la longitud de las ondas; ni tampoco la el número de oscilaciones, en relación con ω, se ve afectado por la modificación de A ó t:

https://ggbm.at/jeqgn8n5

Pero volvamos a lo que nos ocupa. El parámetro ω está relacionado con el tono de un sonido. En particular, cuantas más vibraciones por segundo, el sonido es más agudo y cuantas menos vibraciones por segundo, el sonido es más grave. El número de ondas completas por segundo, que se conoce como frecuencia del sonido, se mide en hercios. Esta característica del sonido tiene que ver entonces con el parámetro ω, como ya hemos comentado anteriormente.  La frecuencia determina el tono (o altura) de un sonido. Por suerte o por desgracia, nuestro oído sólo puede percibir sonidos con frecuencia comprendida entre 16 Hz y 20 000 Hz.

Los diapasones son utilizados, sobre todo, para la afinación del sonido que emiten ciertos instrumentos, es decir, el proceso de ajuste del tono de un sonido hasta que coincida con una nota de referencia, momento en el que se considera que dicho sonido “está afinado”. El diapasón estándar es el denominado 440 que emite un sonido con una frecuencia de exactamente 440 Hz.

Casi todos hemos “tocado” las cuerdas de una guitarra e incluso, los más avanzados, habrán tocado la guitarra con cierto sentido. Sin embargo, todos sabemos que la afinación de una guitarra (antes-de) es un proceso innegociable. Actualmente, lo que hacemos es utilizar afinadores electrónicos, o incluso aplicaciones del móvil, para apretar las clavijas del extremo hasta que alcanzan la frecuencia deseada. Fácil, sencillo.

¿Pero qué pasaba cuando no existían dichas herramientas?… Los más profesionales eran (y son) capaces de afinar la guitarra de oído, pero, en el pasado, el común de los mortales utilizaba un diapasón (una app infalible). Sí, esos extraños “instrumentos” musicales que emiten un sonido puro muy concreto, dependiendo exclusivamente de su forma y del material utilizado en su construcción.

Jules Antoine Lissajous, físico francés de mediados del siglo XIX, encontró un método para conocer exactamente qué nota produce un diapasón: visualizar el sonido. Lissajous buscó la manera de traducir en imágenes los movimientos vibratorios del diapasón. Colocó un pequeño espejo sobre el diapasón, lo hizo sonar y proyectó sobre él un rayo de luz. La vibración del diapasón se transmitía al espejo, de ahí a una pantalla, y se percató de que el rayo de luz dibujaba una “interesante” curva ondulatoria. Dicha curva ondulatoria no era otra que una curva sinusoidal, un movimiento armónico simple, como se ve en la imagen.

El bueno de mi tocayo Jules fue aún un poco más allá. En el fondo, lo importante no era visualizar la nota de un solo diapasón, sino comprobar si dos diapasones distintos producían el mismo sonido. Esto era relevante, por ejemplo, para la industria “diapasonera”, puesto que debían estar muy seguros de que los diapasones construidos producían el mismo sonido.

Así que Lissajous echó más leña al fuego (un nuevo diapasón). Más concretamente, obligó a que el rayo de luz incidiese sucesivamente sobre dos espejos colocados sobre dos diapasones y observó los resultados. Lo importante, y he aquí la música de las figuras de Lissajous, apareció cuando colocó los espejos en perpendicular. Proyectó un rayo de luz y dispuso los diapasones perpendicularmente de forma que dicho rayo viajara de uno a otro y finalmente incidiera sobre una pantalla.  De la misma forma, la vibración de cada uno de los diapasones se transmitía a los pequeños espejos y el rayo acababa dibujando la relación entre las dos notas emitidas. Si ambos diapasones emiten la misma nota, observaremos una elipse, un segmento o una circunferencia, dependiendo del desfase entre ellas. Las demás relaciones son más complejas y, entre ellas, observamos las conocidas figuras de Lissajous. Estas figuras determinan, por tanto, las relaciones entre los sonidos emitidos por dos diapasones distintos.

En el siguiente vídeo podemos ver una reproducción del experimento de Lissajous:

Y he aquí un vídeo en español:

En efecto, puede ser una experiencia muy enriquecedora para realizar en una clase de Matemáticas, de Física o de Tecnología. Invitamos al lector a jugar con la siguiente hoja de trabajo de Geogebra donde se pueden variar los parámetros de los dos movimientos ondulatorios correspondientes a dos sonidos diferentes:

https://ggbm.at/zx4w5ymt

Jules Antoine Lissajous no fue el primero en detectar estas curvas. Esta familia de curvas fue investigada anteriormente por Nathaniel Bowditch en 1815. Lissajous las estudió con mayor profundidad en un trabajo publicado en 1857 del que aún podemos disfrutar:

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k34792z/f146.image

Sin embargo, la música de las figuras de Lissajous sigue sonando. El 11 de septiembre, bajo el texto “Las curvas de #Lissajous son las trayectorias de puntos cuyas coordenadas siguen movimientos sinusoidales. Los diseños resultantes son realmente preciosos.”, publiqué en mi cuenta de Twitter (@juliomulero) la siguiente animación realizada con Geogebra:

Déjenme que comente muy sucintamente las características matemáticas de esta animación y su relación con las figuras de Lissajous. El gif consta de una matriz de gráficos de tamaño 5×5 que van generándose a partir del movimiento de dos puntos en las circunferencias correspondientes en la parte superior y en la parte  izquierda de la matriz, respectivamente.

Dichos puntos dan un número diferente de vueltas; así, el punto sobre la circunferencia amarilla da una vuelta completa, el punto sobre la circunferencia verde da dos vueltas; el de la circunferencia azul, tres vueltas; el de la magenta, cuatro vueltas y, finalmente, el punto sobre la circunferencia roja da cinco vueltas completas a la circunferencia. Esto corresponde a diferentes frecuencias de los movimientos armónicos simples que vienen descritos por dos diapasones distintos.

Como es sabido, las coordenadas paramétricas de una circunferencia pueden ser escritas como (sin(ωt),cos(ωt)) y, de esta forma, las coordenadas de estos puntos pueden escribirse (cos(ωt),sin(ωt)) donde ω es el número de vueltas. Los puntos que generan los diferentes diseños de la matriz heredan la coordenada X del punto de la circunferencia superior y la coordenada Y de la circunferencia de la parte izquierda. Por tanto, las coordenadas paramétricas de estos diseños son (sin(ωt),cos(ωt)), pero sabemos que cos(t)=sin(t+90º). De esta forma estos puntos vienen dados por coordenadas (sin(ωt),sin(ωt+90º)) y no dejan de ser las figuras de Lissajous para diferentes valores de la frecuencia y la fase de dos movimientos armónicos simples.

La acogida fue brutal, bestial, inesperada y abrumadora, provocando miles de reacciones durante las horas siguientes. Días después, Matt Parker, un youtuber matemático con más de 400 000 suscriptores, publicó un vídeo que comenzaba con esta animación proyectada en la pantalla. Se puede ver aquí:

A continuación, el tuit fue recogido en un momento de Twitter titulado “Los GIFs que la rompieron esta semana”. Llegaron miles de Me Gusta y Retuits, y algunos de ellos fructificaron como nuevos seguidores en Twitter. Tanto es así, que en este momento, el tuit tiene más de 3 500 retuits, más de 8 500 Me gusta’s, y más de 520 000 reacciones.

En fin. Esta es la historia de unas curvas preciosas. Trigonometría en estado puro. Música para nuestros ojos en estado puro. Las curvas de Lissajous siguen sonando, y siguen sonando muy bien. Las tenemos en nuestros oídos, en nuestra voz. Querido lector: he aquí la música de las figuras de Lissajous. He aquí la belleza de las matemáticas.

Este post ha sido escrito por Julio Mulero y forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima novena edición, también denominada 9.4, está organizado por @juanfisicahr a través de su blog Esto no entra en el examen.

 

Algunas aplicaciones de las Matemáticas

Las Matemáticas están presentes en nuestra vida cotidiana y en la ciencia que nos permite vivir de la forma en la que lo hacemos. A continuación, mostramos las aplicaciones que hemos ido publicando, desde el 3 de abril, en nuestra cuenta de Twitter @DimatesUA con el HT #LasMatesNoSirvenPaNaPero.

#LasMatesNoSirvenPaNaPero ayudan a analizar la actividad cerebral con electroencefalogramas y tratar a pacientes con epilepsia y autismo

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la magnitud de los terremotos en la escala de Richter se calcula como log(Energía liberada)=11.8+1.5*Magnitud

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la teoría de nudos permite estudiar la disposición de la doble hélice de ADN a fin de crear mejores antibióticos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la subdivisión de superficies complejas y suaves subyace en las animaciones por ordenador de las pelis de Pixar

#LasMatesNoSirvenPaNaPero las redes sociales se analizan con grafos calculando, e.g., medidas precisas de la densidad relativa de relaciones

#LasMatesNoSirvenPaNaPero si ‘te has ligado a alguien’ en Tinder debes dar gracias a las matemáticas y los sistemas de geolocalización

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el IPC es un número índice calculado con 220000 precios de 479 artículos de 29000 comercios en 177 municipios

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el fantástico mundo de ‘Eungenio’ Salvador Dalí está abarrotado de la razón áurea, hipercubos, anamorfosis, etc.

#LasMatesNoSirvenPaNaPero su uso en la predicción del crimen con técnicas similares a las usadas en la predicción de terremotos está en alza

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la teoría de colas estudia los “interminables” tiempos de espera en la cola de un súper, un banco o un hospital

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la combinación de ciertos algoritmos matemáticos permite poner filtros en tus fotos para que te veas muy guapo

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la ley de Benford, que establece la frecuencia de aparición de los dígitos, ayuda a detectar fraudes o corrupción

#LasMatesNoSirvenPaNaPero las búsquedas en Google son posibles gracias a potentes mecanismos matemáticos: Tª Grafos+Álgebra+Tª Probabilidad

#LasMatesNoSirvenPaNaPero algunos problemas NP-duros (complejos de resolver computacionalmente) como Candy Crush son realmente adictivos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la compresión de imágenes en Dropbox se realiza con el algoritmo Lepton que reduce el tamaño un 22% de media

#LasMatesNoSirvenPaNaPero Alan Turing logró descifrar mensajes nazis de la máquina Enigma contribuyendo al final de la II Guerra Mundial

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la modelización matemática contribuye a una mejor gestión y utilización sostenible de los recursos hidrológicos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la proporcionalidad de los sistemas electorales es una de las bases de los principios democráticos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la teoría de la información busca la forma + barata, rápida y segura de codificar y transmitir mensajes sin ruidos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero algunas relaciones entre las propiedades moleculares en la actividad biológica pueden expresarse matemáticamente

#LasMatesNoSirvenPaNaPero si los consumidores conociéramos mejor la teoría de fiabilidad, descubriríamos la íntima relación fallo-garantía

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la arqueoestadística es un conjunto de técnicas tan valiosas como el análisis químico para conocer un yacimiento

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la criptografía de clave pública nos permite, entre otras cosas, presentar la declaración del IRPF por internet

#LasMatesNoSirvenPaNaPero Netflix se adapta a cada usuario empleando algoritmos matemáticos para sugerirle audiovisuales de interés

#LasMatesNoSirvenPaNaPero los asistentes de voz, como Siri, usan la transformada de Fourier en el proceso para el reconocimiento de señales

#LasMatesNoSirvenPaNaPero los arcos catenarios presentes en la Sagrada Familia permitieron a Gaudí dotar a su estructura de gran resistencia

#LasMatesNoSirvenPanaPero desde las estrategias políticas y económicas hasta las licitaciones de proyectos “juegan” con la teoría de juegos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero determinados métodos matemático-probabilísticos juegan un papel fundamental en la detección automática del plagio

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la localización de servicios investiga dónde ubicarlos para satisfacer la demanda optimizando una función objetivo

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la datación de la edad de un fósil con Carbono 14 se basa en una ecuación diferencial del tipo x'(t) = – k x (t)

#LasMatesNoSirvenPaNaPero hasta ahora sólo se conocen 15 pentágonos no regulares con los que podríamos cubrir el suelo de nuestros hogares

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el JCR es el indicador de calidad más conocido de las revistas de investigación y se calcula con número de citas

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la astronomía utiliza la observación y el cálculo matemático para su progreso y desarrollo

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#LasMatesNoSirvenPaNaPero como patrones, simetría, espacio positivo y negativo, arreglo y secuencia son esenciales para en el diseño gráfico

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la precisión matemático-geométrica dota a las obras de Anish Kapoor de una belleza incontenible

#LasMatesNoSirvenPaNaPero los percentiles son medidas de magnitud que se utilizan por ejemplo para analizar el crecimiento de los bebés

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el algoritmo de Dijkstra busca el camino más corto entre dos nodos y se aplica, e.g., en las rutas de los aviones

#LasMatesNoSirvenPaNaPero un método diseñado por investigadores de la UPM recomienda el mejor itinerario según los datos del trafico

#LasMatesNoSirvenPaNaPero una buena (o mala) interpretación de la probabilidad puede provocar que inocentes (o no) vayan a la cárcel (o no)

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#LasMatesNoSirvenPaNaPero gracias a la ecuación de Helmholtz se puede saber cuál es el mejor lugar de tu casa para colocar el router

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la probabilidad nos permite afirmar que los sorteos por letra, e.g., en oposiciones, no son justos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero se puede mejorar la ciberseguridad y atacar el ramsonware en internet a partir de modelos matemáticos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero ciertos algoritmos con imágenes vía satélite son útiles para prever el estado del mar o de una mancha de petróleo

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el índice de Gini es una medida estadística usada para medir la desigualdad de los ingresos (+ grande, + desigual)

#LasMatesNoSirvenPaNaPero los códigos de barras con el estándar EAN-13 se componen de 12 dígitos que identifican el artículo y 1 de control

#LasMatesNoSirvenPaNaPero los números de cuentas bancarias o códigos de lanzamiento de un misil se basan en esquemas para repartir secretos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero se puede analizar la cantidad de radiación a la que están sometidas las obras de arte y minimizar su deterioro

#LasMatesNoSirvenPaNaPero los modelos de balance de energía analizan la sensibilidad de la temperatura a variaciones de parámetros solares

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el diseño y programación de los robots usa desde simples transformaciones lineales hasta complejos modelos de IA

#LasMatesNoSirvenPaNaPero los forenses pueden determinar el momento de la defunción a partir de la Ley de Enfriamiento de Newton (ec. dif)

#LasMatesNoSirvenPaNaPero las técnicas antirruido encuentran en la teoría matemática del control óptimo un marco adecuado para su análisis

#LasMatesNoSirvenPaNaPero las resonancias magnéticas utilizan técnicas de inferencia para obtener información sobre el cuerpo humano

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la identificación de canciones realizada por Shazam se relaciona con la huella digital basada en el espectograma

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la optimización de rutas de transporte busca el camino óptimo para satisfacer la demanda de los clientes

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el movimiento browniano se usa, e.g., en microbiología, para estudiar el movimiento de las partículas coloidales

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el control de sistemas caóticos se usa para analizar irregularidades del latido cardiaco con ciertos marcapasos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la constante de Hubble mide el ritmo con el que la velocidad de expansión del Universo varía con la distancia

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el modelo de elementos finitos se usa para diseñar ejes de ferrocarril donde se cuantifican las tensiones sufridas

#LasMatesNoSirvenPaNaPero las ondículas/wavelets constituyen una herramienta muy reciente y útil para el procesamiento y análisis de señales

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el control estadístico de procesos persigue minimizar la variabilidad a fin de mejorar la calidad de la producción

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la geoestadística es el análisis de fenómenos regionalizados, dispuestos en el espacio y tiempo de forma continua

#LasMatesNoSirvenPaNaPero se puede conocer la jerarquía real de una empresa aplicando la teoría de grafos a los registros de emails

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la transformada de Laplace permite calcular ec. diferenciales en función del tiempo en un mecanismo de control

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la teoría de la utilidad constituye uno de los elementos clave a fin de tomar decisiones en el terreno económico

#LasMatesNoSirvenPaNaPero las empresas analizan el big data para comprender el comportamiento del cliente y predecir futuras acciones

#LasMatesNoSirvenPaNaPero modelos matemáticos con la temperatura, composición, tiempo de cocción, etc. mejoran la conservación de alimentos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la psicometría se basa en la Estadística para desarrollar teorías, métodos y técnicas específicas de medición

#LasMatesNoSirvenPaNaPero el análisis de la estructura de los cristales está muy ligado al estudio de los grupos de simetría

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la trigonometría o el álgebra es el comienzo para sentar las bases en el diseño de los mundos de los videojuegos

#LasMatesNoSirvenPaNaPero los sistemas de óptica adaptativa mediante polinomios de Zernike ayudan a detectar/tratar ‘aberraciones’ oculares

#LasMatesNoSirvenPaNaPero técnicas basadas en espacios multidimensionales ayudan a codificar las señales que emite, e.g., tu teléfono móvil

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la modulación de señales para su transmisión, variando amplitud o frecuencia, permite escuchar la radio (AM ó FM)

#LasMatesNoSirvenPaNaPero la epidometría analiza matemáticamente el crecimiento de los árboles estimando su edad a partir de ciertas caract.