Solución a las amigas

Problema 3 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Anna, Berta, Carla, Daniela y Esther viven en la misma urbanización.

Todas son amigas, excepto Anna y Esther que no pueden ni verse.

Hoy, Anna se ha encontrado con una de las otras cuatro; Berta, a dos de ellas; Carla, a tres, y Daniela, a cuatro.

¿Cuántas se ha encontrado Esther?

¿Se ha producido el incómodo encuentro con Anna?

Solución:
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Solución a azulejos

Problema 2 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

La figura siguiente es un cuadrado formado por dos azulejos cuadrados y tres rectangulares, unidos por el lado más largo.

Cada una de las piezas cuadradas tiene 72 centímetros de perímetro.

¿Cuál será el perímetro de las piezas rectangulares?
Solución:
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Solución a los dígitos de Joan

Problema 2 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Joan elige 3 dígitos y después de hacer todas las permutaciones posibles obtiene 6 números diferentes de 3 cifras cada uno.

Si exactamente uno de los seis es un cuadrado perfecto, y exactamente tres de los seis son números primos, ¿cuáles son los dígitos que ha escogido Joan?

Indica cuáles son los seis números formados por los tres dígitos.


Solución:
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Solución a el calendario

Problema 2 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Recortamos, en una hoja de un calendario cualquiera dispuesto por semanas horizontalmente, un cuadrado de 3×3 días.

Si sumamos los nueve números de los días que contiene este cuadrado, obtenemos un número que es múltiplo de 13.

¿Sabrías decir qué número es el día que está en la esquina superior derecha del recorte?

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Solución a números orensanos

Problema 1 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un conjunto de números enteros T es orensano si existen tres números, llamados a, b y c, a < b < c, tales que a y c pertenecen a T y b no pertenece a T.

Hallar el número de subconjuntos T de {1, 2, … , 2019} que son orensanos.

Solución:
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Solución a los libros de Karen

Problema 1 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Karen Uhlenbeck, la primera mujer que ha ganado el premio Abel, quiere dar cuatro libros a sus tres estudiantes de geometría: Ana, Bernat y Carla.

Si quiere repartirlos todos. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana reciba dos libros?

(Cuidado, hay varias respuestas debido a la ambigüedad del planteamiento).

Solución:
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Solución a triángulos girados

Problema 1 de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Tenemos dos triángulos equiláteros iguales, que forman uno con otro un ángulo de 80º en el vértice que se tocan.

Unimos un vértice de un triángulo con el que está en la otra posición del otro (no con el simétrico).

¿Qué ángulo forma este segmento con el lateral del triángulo que no toca el vértice que los une?

Solución:
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Solución a un ángulo y su doble

Problema 4 de la Fase Nacional de la XLVII OME 2011
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo con un ángulo en A que es doble del ángulo en B, y un ángulo en C mayor de 90º.

Sea D un punto de la recta AC tal que BD es perpendicular a BC, y M el punto medio de AB.

Demuestra que el ángulo AMC coincide con el ángulo DMB.

Solución:
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