Solución a buscando divisiones

Concurso AIME 2016 (Examen Matemático Invitacional Americano)
Se dirige a una edad de: 15-16 años

En esta competición se invita a las personas que han tenido cierto éxito en el AMC 10 o AMC 12, consta de 15 preguntas para 3 horas, y la respuesta siempre es un número entre 000 y 999.

Cuando dividimos los números 702, 787 y 855 entre el mismo número entero positivo m, obtenemos el mismo resto r.

Cuando dividimos los números 412, 722 y 815 entre el entero positivo n, el resto siempre es s, distinto de r.

Encuentra m + n + r + s.

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Solución a seis consecutivos

Olimpiada Junior de los Balcanes, 2017.
Se dirige a una edad de: 16 años

Encuentra todos los conjuntos de seis números enteros positivos consecutivos que cumplen que si multiplicamos dos de ellos y le sumamos el producto de otros dos, obtenemos lo mismo que si multiplicamos los otros dos restantes.

Hay que encontrar todos los conjuntos y demostrar que no existen más.

Solución:

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Solución a 100 pollitos

Mathcounts, ronda final, séptimo problema de 2017
Se dirige a una edad de: 13

En una granja, cien pollitos se distribuyen pacíficamente en una circunferencia. En un momento determinado, simultaneamente, cada pollito picotea al pollito de la izquierda o de la derecha, (a uno de los dos aleatoriamente).

¿Qué número de pollitos se estima que no hayan recibido ningún picotazo?

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Solución a dígitos impares

Primer nivel de la Olimpiada de Mayo, 2016.
Se dirige a una edad de: 12 años

A cada número de tres dígitos Matías le sumó el número que se obtiene invirtiendo sus dígitos.

Por ejemplo, al número 927 le sumó el 729.

Calcular en cuántos casos el resultado de la suma de Matías es un número con todos sus dígitos impares.

Solución:
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Solución a aviones y ciudades

Olimpiada All-Russian, primer problema del primer día del grado 9

En un país, algunas ciudades están conectadas por vuelos en avión, no necesariamente en los dos sentidos (no hay más que un vuelo entre dos ciudades determinadas).

Decimos que una ciudad A está disponible desde una ciudad B, si podemos volar de B hasta A, tal vez haciendo varias escalas.

Se sabe que para cada par de ciudades P y Q, existe una ciudad R desde la que tanto P como Q están disponibles.
Prueba que existe una ciudad A desde la que todas las ciudades están disponibles.

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Solución a dos pirámides

Problema propuesto en la prueba PSAT de la Universidad de Princeton, en 1981
Se dirige a una edad de: 16/17

Disponemos de dos pirámides, cuyas caras laterales son todas triángulos equiláteros. Una es de base cuadrada y la otra, de base triangular.
¿Cuántas caras tiene el sólido que formamos si las unimos por una de las caras laterales?

Este problema tiene detrás una curiosa historia, de la que hablaremos cuando pongamos la solución.

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Solución a ecuaciones con y sin

Torneo de las ciudades, 2016 (Primavera, nivel A junior)
Se dirige a una edad de: 12/15

a) ¿Existen enteros a y b de forma que la ecuación x2 + ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuación [x2] + ax + b = 0 sí que tiene al menos una solución real?

b) ¿Existen enteros a y b de forma que la ecuación x2 + 2ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuación [x2] + 2ax + b = 0 sí que tiene al menos una solución real?

(La función [k] denota la parte entera de k, es decir, el entero más grande que está por debajo de k.)

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Solución a sucesión estancada

Olimpiada Matemática Internacional 2017, problema 1.
Se dirige a una edad de: 16/17

Para cada entero a0 > 1, se define la sucesión a0, a1, a2, … tal que para cada n ≥ 0: an + 1 = √(an), siempre que √(an) sea entero, mientras que an + 1 = an + 3 en cualquier otro caso.

Determinar todos los valores de a0 para los que existe un número A tal que an = A para infinitos valores de n.

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