Solución a torneo de ajedrez

Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En un torneo de ajedrez participan 8 maestros durante 7 días.

Cada día se disputan 4 partidas en las cuales participan todos los maestros, y al finalizar el torneo todos se han enfrentado contra todos exactamente una vez.

Demuestra que, al terminar el quinto día del torneo, existe un conjunto de al menos 4 maestros que ya han jugado entre ellos todas las partidas.
Solución:
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Solución a potencia con tres impares

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Al desarrollar (1 + x + x²)n en potencias de x, exactamente tres términos tienen coeficiente impar.

¿Para qué valores de n es esto posible?

Solución:
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Solución a triángulo

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En el triángulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente.
Se consideran puntos G y H, en los segmentos BD y CD, respectivamente, tales que el ángulo GID es igual a ABC, y HID es igual a ACB. Probar que BHE = CGF

Solución:
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Solución a un tablero con piedras

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determinar todas las parejas de enteros positivos (m, n) para los cuales es posible colocar algunas piedras en las casillas de un tablero de m filas y n columnas, no más de una piedra por casilla, de manera que todas las columnas tengan la misma cantidad de piedras, y no existan dos filas con la misma cantidad de piedras.

Solución:
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Solución a la isla

Problema 4 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 año

Una isla está habitada por personas honradas, que siempre dicen la verdad, y por mentirosos, que siempre mienten.

Hay 444 personas en la isla.

A cada una de ellas, o bien le gusta cantar, o bien jugar al fútbol, o bien pescar, pero sólo una de las tres actividades.

Un día le hicieron una encuesta a toda la población de la isla que contenía tres preguntas:

1) ¿Te gusta cantar?

2) ¿Te gusta jugar al fútbol?

3) ¿Te gusta pescar?

El número de personas que contestó afirmativamente la primera pregunta fue de 222, la segunda pregunta la contestaron afirmativamente 188 personas, y la tercera la contestaron afirmativamente 111.

¿Cuántos mentirosos había en la isla?
Solución:
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Solución a caminos

Problema 3 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Cuántos caminos diferentes podemos elegir entre A y B?

Debemos seguir el camino de las flechas, y no podemos recorrer un tramo de camino dos veces.

Ciertos tramos se pueden recorrer en ambos sentidos, pero sólo una vez.

La respuesta debe ser una potencia de 2.

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Solución a área sombreada

Problema 2 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El área sombreada de la figura siguiente mide a·π para cierto número entero a.

¿Cuál es el valor de a?

Por si no aprecias bien la figura, se trata de un cuarto de circunferencia dentro del cual se ha cortado una circunferencia tangente a uno de los radios que la limitan. El único dato es que la longitud del segmento tangente paralelo al radio al que es tangente la circunferencia interior mide, desde el radio que limita el cuarto de circunferencia hasta la propia circunferencia, 12 unidades. El dato del área se debe expresar, como es habitual, en unidades cuadradas.

Solución:
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Solución a hoja de cálculo

Problema 1 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ponemos los números enteros positivos en la cuadrícula de una hoja de cálculo como indica la imagen, es decir, en la primera columna (A) ponemos del 1 al 9 desde arriba, la fila 1, hasta abajo, en la fila 9. A continuación, en la columna B ponemos los números del 10 al 18, empezando por la fila 9 y acabando por la 1, en la C volvemos a empezar por la fila 1 para poner los del 19 al 27, y así sucesivamente.

Como es habitual en las hojas de cálculo, las 26 primeras columnas están etiquetadas de la A a la Z, las 26 siguientes de la AA a la AZ, y así sucesivamente.

¿En qué casilla queda el número 2020?

Solución:
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