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Ejemplo de inducción
Voy a aprovechar que 2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7⁷ + 8³ + 9³ para estudiar esta propiedad a través de uno de los métodos de demostración más sencillos de entender, el método de la inducción completa.
Demostración de que (1 + 2 + … + n)² = 1³ + 2³ + … + n³, mediante el método de la inducción.
- Probamos que es cierto en el caso n = 1 (podemos también probar algún caso más):
1² = 1³
(1 + 2)² = 3² = 9 = 1³ + 2³ = 1 + 8 - Suponemos que es cierto hasta un determinado caso. En este caso, supondremos que es cierto hasta el término n -1 porque resulta más sencillo trabajar con ese supuesto, así pues, supondremos que, para todo k menor que n se cumple (1 + 2 + … + k)² = 1³ + 2³ + … + k³. En particular, para n – 1, tenemos que (1 + 2 + … + n – 1)² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³.
- Trataremos de probar que es cierto para n, tratando de aprovechar la hipótesis de inducción vista en (2). (1 + 2 + … + n – 1 + n)² = (1 + 2 + … + n – 1)² + 2·(1 + 2 + … + n – 1)·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + 2·(n – 1)·n/2·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + (n – 1)·n·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + n³ – n² + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + n³, como queríamos demostrar.
En la cadena de igualdades se ha utilizado el cuadrado de la suma y la suma de una progresión aritmética de n – 1 términos y diferencia 1. Si el caso de hipótesis de inducción hubiese sido el de n en lugar de n -1, el único problema habría sido que tal vez habríamos necesitado el desarrollo de (n + 1)³.
Solución a “Divisible por una potencia de 5”
Problema 4 de la Fase Nacional de la L Olimpiada Matemática Española (2014) Se dirige a una edad de: 16-17 años
La sucesión {xn} para n entero positivo, definida por x1 = 2 y xn + 1 = 2(xn)³ + xn para todo n mayor o igual que 1.
Determina la mayor potencia de 5 que divide al número (x2014)² + 1.
Solución:
(more…)Solución a “Bombones rebajados”
Problema 9 del concurso Marató de problemes 2024< Se dirige a una edad de: 14-15 años
Unos bombones se venden a un precio de 0,50€ cada uno.
En la pastelería hacen una promoción algo especial:
Si se compran entre 16 y 30 bombones, hacen una rebaja del 6% en el precio total de los bombones.
Si se compran entre 31 y 50 bombones, la rebaja sería del 12% sobre el precio inicial total de los bombones.
Si se compran más de 50, entonces hacen un 20% de descuento sobre el precio inicial total de los bombones.
Anna hizo una primera compra de bombones, por la que le hicieron un 6% de descuento. Volvió al rato e hizo una segunda compra por la que le hicieron un 12% de descuento. Entonces se dio cuenta de que si los hubiese comprado todos a la vez, le habrían hecho un descuento del 20% y se habría ahorrado 2,55€ en total.
¿Cuántos bombones compró la primera vez?
Solución:
(more…)Solución a “Cuatro políticos”
Problema 8 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Cuatro ilustres políticos, A, B, C y D, realizan las siguientes declaraciones:
A: “B y C mienten, ambos”.
B: “C y D mienten, ambos”.
C: “A miente”.
D: “B miente”.
¿Puede ser que alguno o varios de ellos digan la verdad? En ese caso, ¿quién, o quienes?
Solución:
(more…)Solución a “Invertir las cifras”
Problema 7 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
El numero 8547 tiene la característica de poderse escribir 8547 = 5862 + 2685, como suma de un número abcd de cuatro cifras, y el número de 4 cifras dcba, que resulta de invertir el orden de las cifras del anterior.
Razona cuantos números de 4 cifras tienen la característica de poderse escribir como la suma de un número de 4 cifras abcd y el número dcba que tiene las mismas cifras en orden inverso.
El número más pequeño que cumple el enunciado es el 2002 = 1001 + 1001.
Otro es el 3333, que cumple el enunciado con dos sumas con sumandos diferentes: 3333 = 1122 + 2211 = 1212 + 2121.
¿Cuál es el número más grande que cumple el enunciado? Razona cuántas sumas del tipo abcd + dcba, de dos números de cuatro cifras en el que las cifras de uno resultan de escribir en orden inverso las cifres del otro, dan como resultado este número más grande.
Razona cuántas sumas de dos números de cuatro cifras del tipo abcd + dcba dan como resultado 8547.
Solución:
(more…)Solución a “Misma área, distintas proporciones”
Problema 6 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En un triángulo ABC, trazamos dos paralelas a la base AB por dos puntos M y N del lado AC, que llegan, respectivamente a los puntos P y R del lado AB.
En el primer caso, cuando la trazamos por M, la proporción AM/MC es p y medimos el área del trapecio MABP.
En el segundo caso, medimos el área del triángulo NRC, y resulta ser la misma que la del anterior trapecio. ¿Qué proporción AN/NC hay?
Solución:
(more…)Solución a “Valores absolutos”
Problema 5 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Si a, b y c pueden tener como valor tres números reales, diferentes todos ellos de 0, y |x| representa el valor absoluto de x, se pide obtener cuántos valores diferentes puede tener la expresión 4·a/|a|+ 3·b/|b| + 2·c/|c| + a·b/|a·b| + b·c/|b·c| + c·a/|c·a|.
Solución:
(more…)Solución a “Recipiente”
Problema 4 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Un recipiente está formado por un cilindro y un cono unidos, con una altura total de 50 cm, y contiene cierto líquido.
Cuando el recipiente está en posición vertical y el cilindro está en la parte inferior, el líquido llega a una altura de 22 cm.
Sin embargo, si se coloca con el cono en la parte inferior, el líquido alcanza una altura de 39 cm.
¿Qué parte del recipiente (expresado como fracción irreducible) ocupa el líquido que contiene?
Solución:
(more…)Solución a “Juguemos a los dados”
Problema 5 del nivel B de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2024 Se dirige a una edad de: 14 -15 años
Tenemos tres dados cúbicos, uno azul, uno rojo y uno verde, un poco diferentes de los tradicionales. El dado azul tiene 5 caras con 4 puntos y una cara con un punto. El dado rojo tiene 3 caras con 5 puntos y 3 caras con 2 puntos. El dado verde tiene 5 caras con 3 puntos y una cara con 6 puntos.
Laura y Luis juegan con las siguientes reglas:
Uno de ellos elige un dado.
El otro elige uno de los dos dados restantes.
Lanzan una vez el dado que han elegido.
Gana el que obtenga la mayor puntuación.
Laura le dice a Luis que elija un dado él primero.
¿Por qué crees que lo hace?
Solución:
(more…)Solución a “Campeonato de dardos”
Problema 4 del nivel A de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2024 Se dirige a una edad de: 12 -13 años
Estás en la semifinal del campeonato de dardos, pero debes obtener 27 puntos para llegar a la final realizando tres tiros sobre la siguiente diana.
¿De cuántas formas es posible obtenerlos, sabiendo que puedes fallar o no alguna tirada y que las mismas puntuaciones en diferente orden cuentan como jugadas diferentes?
Solución:
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