Solución a feliz 2022

Problema 0 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En la imagen, aparecen las letras de BON2022 en cierta posición, de forma que podemos recorrer ordenadamente los caracteres de esa expresión comenzando por la B, siguiendo los movimientos hacia la derecha, hacia arriba, hacia la izquierda o bien hacia abajo, nunca en diagonal.

¿De cuántas formas lo podemos hacer?

Solución:
Continue reading Solución a feliz 2022

Solución a suma de fracciones

Problema 12 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Suma estas fracciones, obteniendo el resultado en forma de fracción irreducible:

1/(1 + 2022-2022) + 1/(1 + 2022-2021)+ … + 1/(1 + 2022-1) + 1/(1 + 20220) + 1/(1 + 20221) + … + 1/(1 + 20222021) + 1/(1 + 20222022)


Solución:
Continue reading Solución a suma de fracciones

Solución a reparto

Problema 11 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Queremos repartir 20 objetos idénticos entre Alba, Bernat, Carla y Diana.

a) Razona de cuántas maneras diferentes lo podemos hacer si no se pone ninguna condición al reparto, es decir, que se contempla la posibilidad de que alguna o varias de las cuatro personas no reciban ningún objeto.

b) Explica de cuántas formas se puede hacer el reparto si queremos que cada persona reciba algún objeto. Y, con esta condición, calcula razonadamente en cuántas de estas formas Alba recibe exactamente 3 objetos.

c) Razona de cuántas formas se puede hacer el reparto con el único condicionante de que Diana reciba menos objetos que Alba, y también menos que Bernat, y también menos que Carla.

Repite los apartados anteriores en el caso de que los 20 objetos fuesen todos diferentes

Solución:
Continue reading Solución a reparto

Solución a sólo dos distancias

Problema 10 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Queremos analizar qué estructuras geométricas puede tener un conjunto de puntos del plano con la propiedad de que si calculamos todas las distancias entre cualquier par de puntos del conjunto sólo resulten dos valores.

a) Comencemos por los conjuntos de tres puntos. Si están alineados, razona que el conjunto formado por dos extremos de un segmento y su punto medio cumple la propiedad pedida y ningún otro tipo de conjunto la tiene.

b) Pensemos ahora en los vértices de un triángulo. Si tomamos tres puntos que sean los vértices de un triángulo equilátero, este conjunto no cumple esa propiedad, ya que sólo aparece una única distancia entre todos ellos. Razona si existe o no un triángulo cuyos vértices formen un conjunto con esta propiedad.

c) Estudia qué estructuras pueden tener los conjuntos de 4 puntos del plano que cumplan la propiedad. Trata de indicar un camino para encontrarlas, dibújalas y justifica que cumplen la propiedad.

d) Repite el apartado anterior para conjuntos de 5 puntos.

Solución:
Continue reading Solución a sólo dos distancias

Solución a unos polinomios muy especiales

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de números reales x, y, z.

Solución:
Continue reading Solución a unos polinomios muy especiales

Solución a un sistema con potencias

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años
Hallar todas las ternas de números reales (a, b, c) que cumplan el sistema:
a + b + c = 3
2a + 2b + 2c = 7
2-a + 2-b = ¾

Solución:
Continue reading Solución a un sistema con potencias

Solución a 13 puntos en una estrella

Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos son iguales.

A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo.

Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.

(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el triángulo equilátero del que son vértices puede no estar trazado en las líneas de la figura dibujada.)

Solución:
Continue reading Solución a 13 puntos en una estrella

Solución a un punto en el cuadrilátero

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero convexo, y sea P un punto en su interior.

Si se cumple que área(PAB)·área(PCD) = área(PBC)·área(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.

Solución:
Continue reading Solución a un punto en el cuadrilátero

Solución a la fila de 2022 personas

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fila hay 2022 personas.

Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad.

Todos ellos afirman “Hay más mentirosos a mi izquierda que gente que dice la verdad a mi derecha”.

Determinar cuántos mentirosos hay en la fila.
Solución:
Continue reading Solución a la fila de 2022 personas