Solución a sucesión e igualdad entre productos

Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Demuestra que para todo n ≥ 2 podemos encontrar n números reales x1, x2, …, xn ≠ 1 de manera que los productos x1·x2·…·xn y (1/(1 – x1))·(1/(1 – x2))·…·(1/(1 – xn)) son iguales.

Solución:
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Solución a triángulo y cuadrado en una rejilla

Problema 1 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una cuadrícula de puntos plana cuyos puntos distan un centímetro del más próximo horizontal y verticalmente, dibujamos un triángulo que se apoya en los puntos de coordenadas (0, 0), (4, 3) y (1, 4), y un cuadrado en los vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) y (1, 2), como indica la figura.

¿Cuál es el área de la parte común?

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Solución a menores que 20182019

Problema 0 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Cuántas soluciones enteras tiene el sistema de ecuaciones x² = y³ = K para valores de k menores que 20182019?

Nota: una solución es una terna (x, y, k).

En este problema se piden los casos en los que tanto x, como y, como k, son números enteros.
Solución:
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Solución a triángulo de Pascal binario

Regalo estacional de los organizadores de la edición 2019 de la Olimpiada Internacional
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Una entrada es una cadena de ceros y unos.

A partir de ella, escribimos una fila de unos y ceros usando las reglas del triángulo de Pascal, donde cada uno de los números es suma de los dos situados en diagonal por encima suyo.

Trabajamos “módulo 2”, es decir, 1 + 1 = 0.

Repetimos el proceso hasta que formamos un triángulo de números.

Por ejemplo, si la entrada es 1 0 1 1 1, el triángulo sería el siguiente:

1   0   1   1   1
  1   1   0   0
    0   1   0
      1   1
        0

La salida de este procedimiento es la cadena de unos y ceros que se puede leer en el lado de este triángulo desde el extremo inferior hasta el extremo superior derecho, en ese orden. En nuestro ejemplo es 0 1 0 0 1.

Si decidimos empezar con una entrada de longitud n, hay 2n posibles cadenas de entrada.

¿Cuántas de esas cadenas tienen la propiedad de que son las mismas que su cadena de salida correspondiente?

No son necesarios cálculos complejos. Use sólo ideas hermosas.

Solución:
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Solución a una fila en Florencia

Problema 3 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Las n concursantes de cierta EGMO se llaman C1, C2, … ,Cn. Después de la competencia, se ponen en fila fuera del restaurante de acuerdo a las siguientes reglas:

· El Jurado escoge el orden inicial de las concursantes en la fila.

· Cada minuto, el Jurado escoge un entero i, con 1 ≤ i ≤ n.

Si la concursante Ci tiene al menos otras i concursantes delante de ella, le paga un florín al Jurado y se mueve exactamente i posiciones delante de ella.

Si la concursante Ci tiene menos de i concursantes delante de ella, el restaurante se abre y el proceso termina.

(a) Demuestre que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado.

(b) Determine para cada n el máximo número de florines que puede recolectar el Jurado, escogiendo el orden inicial y la secuencia de movimientos astutamente.
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Solución a dos naranjas en un bol

Problema 1 del nivel B fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018
Se dirige a una edad de: 13-14 años

Tenemos dos naranjas de 5 centímetros de radio.

¿Cuál es la altura mínima que debe tener un bol semiesférico para que podamos poner dentro las dos naranjas sin que sobresalgan?

Si tenemos un bol del tamaño indicado en el apartado anterior, ¿a qué altura respecto al fondo del bol quedan los puntos en los que las naranjas tocan el bol?

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Solución a sumas consecutivas

Problema 1 del nivel A fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Determina cuantos números menores que 2018 cumplen las dos condiciones siguientes a la vez:

a. Ser suma de dos naturales consecutivos.

b. Ser suma de siete naturales consecutivos.

Solución:
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Solución a la edad de los hijos

Problema 5 del nivel A fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Una familia tiene cinco hijos, cuyas edades son números pares distintos.

La suma de las edades de las tres chicas es de 28 años.

La suma de los edades de los chicos es de 14 años.

La suma de las edades de los dos mayores es 24 años.

La suma de las edades de los dos menores es 10 años.

Indica la edad de cada uno de los hijos, sabiendo que el menor es una hija. Explica tu razonamiento.
Solución:
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