Solución a triángulos girados

Problema 1 de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Tenemos dos triángulos equiláteros iguales, que forman uno con otro un ángulo de 80º en el vértice que se tocan.

Unimos un vértice de un triángulo con el que está en la otra posición del otro (no con el simétrico).

¿Qué ángulo forma este segmento con el lateral del triángulo que no toca el vértice que los une?

Solución:
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Solución a un ángulo y su doble

Problema 4 de la Fase Nacional de la XLVII OME 2011
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo con un ángulo en A que es doble del ángulo en B, y un ángulo en C mayor de 90º.

Sea D un punto de la recta AC tal que BD es perpendicular a BC, y M el punto medio de AB.

Demuestra que el ángulo AMC coincide con el ángulo DMB.

Solución:
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Solución a comparando conjuntos

Problema 1 del sábado de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Considera el conjunto de números enteros positivos n cumpliendo 1 ≤ n ≤ 1000000.

En este conjunto, indica si es mayor la cantidad de números que pueden expresarse de la forma a³ + mb², con a, b números naturales y m pertenece al conjunto {0, 2, 4, 6, 8} o la cantidad de números que no pueden expresarse de esa manera.

Solución:
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Solución a un primo en un triángulo rectángulo

Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea p ≥ 3 un número primo, y consideremos el triángulo rectángulo de cateto mayor p² – 1 y cateto menor 2p.

Inscribimos en el triángulo un semicírculo cuyo diámetro se apoya en el cateto mayor y es tangente a la hipotenusa y al cateto menor del triángulo.

Encuentra los valores de p para los cuales el radio del semicírculo es un número entero.

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Solución a triángulo espejo

Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El trapecio isósceles ABCD tiene lados paralelos AB y CD. Sabemos que AB = 6, AD = 5 y el ángulo DAB = 60º. Se lanza un rayo de luz desde A que rebota en CB en el punto E e interseca en AD en el punto F. Si AF = 3, calcula el área del triángulo AFE.
Solución:
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Solución a sucesión e igualdad entre productos

Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Demuestra que para todo n ≥ 2 podemos encontrar n números reales x1, x2, …, xn ≠ 1 de manera que los productos x1·x2·…·xn y (1/(1 – x1))·(1/(1 – x2))·…·(1/(1 – xn)) son iguales.

Solución:
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