Solución a media cuadriculada

Problema 12 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una cuadrícula de RxR casillas escribimos un 1 en todas las casillas que corresponden a una fila impar y columna impar; escribimos un 4 en todas las casillas que corresponden a una fila y una columna que tienen diferente paridad, y escribimos un 7 en las casillas que corresponden a una fila par y una columna par.

¿Cuál es la media aritmética de todos los números que hemos escrito?

Nota: debemos proporcionar una expresión para el caso en que R sea par, y otro para el caso en que R sea impar. Si, además, proporcionamos una expresión que sea válida para ambos casos, supondrá una puntuación extra (0,2 puntos añadidos a los 3 del problema).

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Solución a un extraño triángulo isósceles

Problema 11 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Marina tiene dibujado un triángulo isósceles.

Llamaremos base al lado de longitud diferente a los otros dos.

Desde uno de los vértices de la base, Marina traza un segmento hasta el lado opuesto, cuya longitud es igual a la longitud de la base.

Desde el punto obtenido, traza un segmento de la misma longitud que la base original que le lleva hasta el otro lado del triángulo original.

Desde ese otro punto, vuelve a trazar otro segmento hasta el otro lado del triángulo original que de nuevo tiene la misma longitud que la base.

En ese momento, se da cuenta de que la distancia desde el último punto hasta el vértice entre lados iguales del triángulo original, también es igual que la base, con lo que Marina ha descompuesto el triángulo original en cuatro triángulos que tienen dos lados, al menos, con la misma longitud que la base original.

¿Puedes dar la medida del ángulo opuesto a la base del triángulo original?

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Solución a los drones de control

Problema 10 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En el tramo de una autopista que va desde A a B se ha implantado el sistema de control de la velocidad de los coches mediante drones.

Se dispone de dos drones diferentes y uno tarda 33 minutos en hacer el trayecto de ida y vuelta, mientras que el otro tarda 28 minutos.

Ambos inician su jornada a las 6.30 h.

Cada día uno empieza en A y el otro en B.

Hoy el más lento empieza en A y el más rápido en B, y no paran en todo el día, hasta que el controlador los detiene a las 23.00 h o un poco más tarde, entendiendo que uno debe acabar en A y el otro en B para empezar su tarea al día siguiente.

¿A qué hora será la primera vez que los dos drones coincidirán justo en uno de los extremos del tramo que controlan, y en cuál de los dos extremos sucederá?

¿Y a qué hora podrá el controlador apagar el último de los drones en marcha?
Solución:
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Solución a siete cifras

Problema 9 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

¿Cuántos números de 7 cifras hay, escritos con las siete cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 (cada cifra debe aparecer exactamente una vez en el número) que sean múltiplos de 11?

A esta pregunta añado yo ¿podrías encontrar cuál es el mayor y cuál es el menor de ellos?

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Solución a altura de cuatro jugadoras

Problema 8 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Se nos dan cuatro valores, T, m n y p. Podemos dar la solución con unos valores concretos y explicar cómo se calcula, pero se apreciaría más dar la solución general.

Alba, Berta, Carmen y Diana son cuatro jugadoras de un equipo de baloncesto.

Las cuatro tienen alturas diferentes, y entre todas suman T centímetros.

Alba mide m centímetros más que Carmen.

Diana mide n centímetros más que Berta.

Si sumamos la altura de la más alta y la de la más baja, el resultado es p centímetros inferior al resultado de la suma de las otras dos.

¿Cuánto miden las cuatro jugadoras?
Solución:
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Solución a cociente de áreas

Problema 6 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En un triángulo rectángulo ABC, la hipotenusa AC se divide en 12 partes iguales.

De cada una de ellas se traza una paralela al cateto BC, hasta el cateto AB, dividiendo el triángulo en 12 polígonos (un triángulo y 11 trapecios).

Hemos marcado dos de ellos, el cuarto a partir del vértice A, y el cuarto a partir del cateto BC.

¿Cuánto vale el resultado de dividir el área del mayor de los dos entre el otro?

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Solución a polígonos regulares encajables

Problema 7 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En la imagen de ejemplo podemos ver cómo podemos encajar un polígono regular de 10 lados, uno de 3 (triángulo equilátero) y otro de 15, sin dejar espacios entre ellos.

a) Estudiar y razonar con todo detalle todos los valores de m y n (pueden ser iguales, pero supondremos que m es menor o igual que n) que hacen que un polígono regular de m lados, otro de n lados y un triángulo equilátero encajan sin dejar espacio entre los tres.

b) Estudiar todos los posibles valores de m, n y p (donde m menor o igual que n, y n menor o igual que p) en los que tres polígonos regulares de tamaños m, n y p encajan sin dejar huecos.

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Solución a edades en una reunión

Problema 5 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión se da el curioso caso de que la media de las edades de las personas presentes coincide con el número de personas.

En ese momento, llega a la reunión otra nueva persona que tiene una edad A, y ¡qué casualidad! Vuelve a darse que la edad media coincide con el número de personas presentes.

¿Cuántas personas hay al final, en función de la edad A?

Solución:
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Solución a triángulos diferentes

Problema 3 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tenemos siete listones, cuyas longitudes, todas diferentes, en centímetros, son 3, 4, 7, 8, 24, 26 y 28.

¿Cuántos triángulos diferentes podemos construir uniendo tres de estos listones?

Se supone que dos triángulos son iguales si sus tres lados son iguales, aunque sean simétricos en lugar de iguales, es decir, se les puede dar la vuelta y poner los listones al revés, y siguen siendo iguales.
Solución:
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