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Category Archives: Soluciones

Solución a “Árbol factorial”

Problema 0 del concurso Marató de problemes 2025
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Busca 5 cifras, llamadas A, B, C D y E, de forma que cumplan las siguientes igualdades:

C·C = D

E·D = BE

C·E = AE

C·BE = ACE

AE·ACE = 2025

Solución:

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Solución a “Propiedad del ortocentro”

Problema 9 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo acutángulo cuyos lados tienen longitudes a, b y c, y sea S el área del triángulo.

Sea P un punto interior del triángulo de forma que a·|PA| + b·|PB| + c·|PC| = 4S.

Demuestra que P es el ortocentro del triángulo ABC.

Solución:

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Solución a “Tres números”

Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos una lista con los números 0, 1 y raíz(3).

De forma sucesiva, se va aplicando la siguiente operación: se escoge uno de los tres números de la lista y se le añade un múltiplo racional arbitrario de la diferencia entre los otros dos.

Repitiendo este proceso, ¿es posible conseguir que los tres números de la lista sean 0, raíz(3) − 1 y raíz(3) + 1?

Solución:

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Solución a “Ecuación diofántica”

Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Halla todos los números enteros a y b que satisfacen la ecuación siguiente:

a(a² + b²) + 7 = 5a² + 3b²

Solución:

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Solución a “Función escondida”

Problema 2 de la Fase Provincial de la Olimpiada de Matemáticas de la Comunidad Valenciana(2024)
Se dirige a una edad de: 14-15 años
Sea f(x) una función real de variable real que cumple la siguiente igualdad para cualquier x: f(x) + f(1/(1 – x)) = x Encuentra f(x).
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Solución a “Funciones que cumplen una igualdad”

Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todas las funciones f : (0, +∞) → (0, +∞) que cumplen, para x, y > 0 cualesquiera, la igualdad siguiente:

f(x·f(y))) = f(x·y) + x

Solución:

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Solución a “Coincidencia en un cuadrilátero”

Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero convexo de forma que AB∩CD = F y AD∩BC = E.

Demuestra que los circuncírculos de los triángulos BFC, AFD, DCE y ABE tienen un punto en común.

Solución:

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Solución a “Divisores que suman 1001”

Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determina el menor entero positivo n que tiene al menos 4 divisores diferentes a, b, c, y d, que son mayores que 1 y menores que n, de forma que a + b + c + d = 1001.

Solución:

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Solución a “Triángulo dividido”

Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dividimos cada lado de un triángulo equilátero en n partes iguales, uniendo cada punto de los que hemos usado en la división con el vértice opuesto al lado donde está.

Determina el número de puntos de intersección interiores al triángulo determinados por estos segmentos en los siguientes casos.

(a) n es un número primo impar.

(b) n = 2p² , donde p es un número primo impar.

Solución:

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Solución a “Un polinomio que pasa por muchos puntos”

Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea q(x) un polinomio de grado 2023 que cumple que q(n) = 1/n para todo n = 1, 2, . . . , 2024.

Halla el valor q(2025).

Solución:

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