Solución a “Multiplicando”

Problema 1 del concurso Marató de problemes 2024
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Julián y Juia tienen el encargo de multiplicar dos números primos diferentes, cada uno de dos cifras, uno es el 31 y el otro lo indicamos como ab.

Julia ha multiplicado correctamente 31·ab pero en Julián se ha equivocado y el segundo número lo ha escrito con las cifras cambiadas de orden, es decir, que ha multiplicado 31·ba y en principio no se ha dado cuenta del despiste porque casualmente también multiplicaba dos números primos.

El resultado de Julia es 558 unidades más grande que el de Julián.

¿Cuál es el número que ha usado correctamente Juliana?

Solución:
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Solución a “Las tres compañeras”

Problema 4 del nivel C de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 10 -11 años

Clara, Ana y Elisa van de excursión en autobús y están sentadas en tres asientos, una detrás de otra.

Las tres van vestidas de rojo, blanco y azul (no necesariamente en ese orden) y tienen como aficiones bailar, jugar al baloncesto y jugar al voleibol (aunque tampoco necesariamente en ese orden).

A partir de las pistas siguientes, indica en qué posición está sentada cada una, de qué color van vestidas y su afición.

Pistas:

1.- Clara está sentada entre dos compañeras y le ha prestado la ropa a la que va vestida de rojo.

2.- A Elisa nunca le han gustado los deportes que se practican con balón.

3.- Delante de la que baila, está sentada la que juega a voleibol.

4.- La última de la fila de asientos es la que viste de azul.

Solución:
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Solución a “Demasiados cuadrados”

Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a, b, c tres números enteros, y sea p >= 5 un número primo.

Demostrar que, si an² + bn + c es el cuadrado de un número entero para 2p – 1 valores consecutivos de n, entonces b² – 4ac es un múltiplo de p.

Solución:
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Solución a “La fiesta”

Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fiesta hay 100 personas. Cada par de personas son o bien amigos o bien enemigos (una y solo una de las dos cosas).

Se cumple la siguiente propiedad: si A y B son enemigos y B y C son enemigos, entonces A y C son amigos.

Demostrar que hay dos personas X e Y que cumplen simultáneamente estas condiciones:

X tiene el mismo número de enemigos que Y .

X e Y son amigos.

Solución:
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Solución a “Cometa sobre trapecio”

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que AD = DC = CB = 5 y AB = 10.

Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD.

La recta perpendicular a AC trazada por O corta a la prolongación del lado AD en E, y a la base AB en F.

Calcular el área del cuadrilátero AECF.


Solución:
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Solución a “Perpendicular en un cuadrilátero”

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero.

Sean J e I los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente.

Sea G el punto de la recta BC tal que DG es perpendicular a BC y sea H el punto de la recta AD tal que CH es perpendicular a AD.

Las rectas DG y CH se cortan en el punto K.

Sea E el punto de la recta BC tal que AE es perpendicular a BC y sea F el punto de la recta AD tal que BF es perpendicular a AD.

Las rectas AE y BF se cortan en el punto L.

Probar que KL es perpendicular a JI.

Solución:
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Solución a “Dos polinomios muy parecidos”

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea P(x) un polinomio de grado 5, y sean a y b dos números reales diferentes de 0.

Supongamos que el resto de P(x) al dividirlo por x³ + ax + b es igual al resto al dividirlo por x³ + ax² + b.

Determinar el valor de a + b.

Solución:
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Solución a “Sumas de números formadas por unos”

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Hallar el menor entero positivo n tal que la suma de n sumandos

A(n) = 1 + 11 + 111 + … + 11…1

es divisible por 45.

Solución:
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