Solución a “Demasiados cuadrados”

Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a, b, c tres números enteros, y sea p >= 5 un número primo.

Demostrar que, si an² + bn + c es el cuadrado de un número entero para 2p – 1 valores consecutivos de n, entonces b² – 4ac es un múltiplo de p.

Solución:
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Solución a “La fiesta”

Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fiesta hay 100 personas. Cada par de personas son o bien amigos o bien enemigos (una y solo una de las dos cosas).

Se cumple la siguiente propiedad: si A y B son enemigos y B y C son enemigos, entonces A y C son amigos.

Demostrar que hay dos personas X e Y que cumplen simultáneamente estas condiciones:

X tiene el mismo número de enemigos que Y .

X e Y son amigos.

Solución:
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Solución a “Cometa sobre trapecio”

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que AD = DC = CB = 5 y AB = 10.

Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD.

La recta perpendicular a AC trazada por O corta a la prolongación del lado AD en E, y a la base AB en F.

Calcular el área del cuadrilátero AECF.


Solución:
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Solución a “Perpendicular en un cuadrilátero”

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero.

Sean J e I los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente.

Sea G el punto de la recta BC tal que DG es perpendicular a BC y sea H el punto de la recta AD tal que CH es perpendicular a AD.

Las rectas DG y CH se cortan en el punto K.

Sea E el punto de la recta BC tal que AE es perpendicular a BC y sea F el punto de la recta AD tal que BF es perpendicular a AD.

Las rectas AE y BF se cortan en el punto L.

Probar que KL es perpendicular a JI.

Solución:
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Solución a “Dos polinomios muy parecidos”

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea P(x) un polinomio de grado 5, y sean a y b dos números reales diferentes de 0.

Supongamos que el resto de P(x) al dividirlo por x³ + ax + b es igual al resto al dividirlo por x³ + ax² + b.

Determinar el valor de a + b.

Solución:
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Solución a “Sumas de números formadas por unos”

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Hallar el menor entero positivo n tal que la suma de n sumandos

A(n) = 1 + 11 + 111 + … + 11…1

es divisible por 45.

Solución:
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Solución a “Lucas Cuentas”

Problema 4 del nivel A de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 12 -13 años

En el cementerio de mi pueblo, hay una lápida en la que figura la siguiente inscripción: “Aquí yace Lucas Cuentas, muerto en 1971. Vivió tantos años como la suma de las cifras de su año de nacimiento”.

Calcula en qué año nació y cuánto vivió.

Solución:
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Solución a “Meteorito”

Problema 3 del nivel C de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 10 -11 años

Un pequeño meteorito ha caído a la Tierra. Su impacto ha generado una zona de alta contaminación que abarca un cuadrado de 1 km de lado.

Los científicos de la Sociedad Geológica han prohibido que nadie se acerque a la zona a una distancia menor o igual a 1 km de cualquier punto contaminado.

a) Realiza el dibujo de la zona total no habitable delimitada por el perímetro decretado.

b) ¿Cuántos km2 son ahora inhabitables?

Solución:
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Solución a “Sucesión de triángulos”

Problema 3 del nivel B de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

La figura se ha construido a partir de un triángulo equilátero de lado 2²⁰²² mediante la construcción sucesiva de triángulos equiláteros de lado la mitad del lado anterior.

Calcula el perímetro exterior de la figura, sabiendo que el lado del último triángulo dibujado es de longitud 2⁰ = 1.

Pista: 1 + 2 + 4 +… + 2^n = 2^(n + 1) – 1.


Solución:
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Solución a “Cromos de fútbol”

Problema 2 del nivel C de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023
Se dirige a una edad de: 10 -11 años

Víctor y Sergio coleccionan los cromos de un álbum de fútbol. Una tarde comentan…

– Yo tengo el 92% de los cromos del álbum –dice Víctor-

– Y yo tengo 37, de cada 40 cromos del álbum –dice Sergio-

¿Quién tiene más cromos en el álbum? Justifica tu respuesta.

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