Solución a los mayores de las parejas

Problema 5 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

Gabriela elige dos números del 1 al 9 y escribe en su libreta el número mayor de la pareja que ha escogido.

Después de elegir todas las parejas posibles de números del 1 al 9 (sin repetir jamás una pareja), Gabriela sumó todos los dígitos escritos.

¿Cuál es el valor de la suma que obtuvo?
Solución:
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Solución a máximo y mínimo

Problema 1 de análisis de primer nivel de los premios Jorge Juan de la Universidad de Alicante (2019)
Se dirige a una edad de 18-20 años

Sea f una función continua del intervalo [-2019, 2019] en el conjunto de los números reales.

Demuestra que el conjunto X = {x ∈ [-2019, 2019] : f(x) = f(-x)} tiene mínimo y máximo, y que se verifica máx(X) + mín(X) = 0.

Solución:
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Solución a azar en Hogwarts

Problema 5 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Desde Hogwarts, deben enviar tres cartas a tres futuros alumnos de esta escuela.

Para eso, Hagrid tiene tres lechuzas preparadas, pero cada una de ellas sólo sabe llegar a la casa de la persona que le han asignado.

Hagrid se ha hecho un lío con las cartas y no sabe si le ha dado a cada lechuza la carta adecuada.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas llegue a su destino correctamente?
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Solución a suma de productos

Problema 2 del segundo nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019)
Se dirige a una edad de 14 años

Se tiene un tablero con 2020 casillas en la fila inferior y 2019 en la superior, de forma que están ubicadas las casillas de una fila entre dos de la otra, como indica la figura.

En la fila inferior se colocan los números enteros del 1 al 2020 en algún orden.

Luego, en cada casilla superior se anota la multiplicación de los dos números que tiene debajo.

¿Cómo se pueden colocar los números de la fila inferior para que la suma de los números de la fila superior sea la menor posible?

Solución:
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Solución al menor de los máximos

Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.

Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.

Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución:
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Solución a piezas de madera

Problema 4 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

¿Cuáles de las figuras A, B, C y D indicadas pueden construirse pegando por los lados piezas de madera iguales a la forma de la izquierda?

Dejo dibujado un cuadriculado de guía para facilitar el razonamiento.

Solución:
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Solución a zona sombreada

Problema 4 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Partimos de un círculo de radio 4 metros.

Desde un punto exterior al círculo, trazamos dos tangentes al mismo, y comprobamos que forman en ese punto un ángulo de 60º.

Si rellenamos de color el área entre las dos tangentes y el círculo ¿qué área queda sombreada?

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