Solución a el cubo más primo

Problema 5 del nivel C de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 10 -11 años

Intenta colocar en los ocho vértices del cubo los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, de manera que los números de cualquier arista sumen un número primo.

Solución:
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Solución a el bosque

Problema 5 del nivel B de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Un caprichoso mago vive en un bosque mágico en el que inicialmente hay 800 árboles, 100 abetos y 700 pinos.

Cada noche, el mago elige un único árbol al azar y le aplica un hechizo que lo transforma en la otra especie.

Su hechizo no siempre sale bien, sólo consigue transformar una tercera parte de las veces un abeto en un pino, pero cuando empieza con un pino es peor, sólo la quinta parte de las veces consigue que se transforme en un abeto.

a) ¿Qué es más probable que ocurra la primera noche, que aumenten los abetos, o los pinos en el bosque? (se supone que no pueden haber más de 800 árboles en el bosque, no nacen nuevos, ni tampoco mueren).

b) ¿Y si hubiese 700 abetos y 100 pinos al principio?

c) ¿Con qué cantidad inicial de pinos y abetos la probabilidad de aumentar los pinos o los abetos es la misma?

Solución:
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El bosque

Problema 5 del nivel B de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Un caprichoso mago vive en un bosque mágico en el que inicialmente hay 800 árboles, 100 abetos y 700 pinos.

Cada noche, el mago elige un único árbol al azar y le aplica un hechizo que lo transforma en la otra especie.

Su hechizo no siempre sale bien, sólo consigue transformar una tercera parte de las veces un abeto en un pino, pero cuando empieza con un pino es peor, sólo la quinta parte de las veces consigue que se transforme en un abeto.

a) ¿Qué es más probable que ocurra la primera noche, que aumenten los abetos, o los pinos en el bosque? (se supone que no pueden haber más de 800 árboles en el bosque, no nacen nuevos, ni tampoco mueren).

b) ¿Y si hubiese 700 abetos y 100 pinos al principio?

c) ¿Con qué cantidad inicial de pinos y abetos la probabilidad de aumentar los pinos o los abetos es la misma?

Solución: Aquí.

Solución a el juego de las fichas

Problema 4 del nivel C de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 10 -11 años

Sara y Pablo tienen que ordenar la habitación de juegos. Como tienen prisa, se lo juegan a la 21.

De un montón de 21 fichas, pueden retirar alternativamente, una, dos o tres fichas del montón. Quien retira la última ficha gana y se podrá ir antes.

¿Qué estrategia utilizarías para ganar?

Solución:
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El juego de las fichas

Problema 4 del nivel C de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 10 -11 años

Sara y Pablo tienen que ordenar la habitación de juegos. Como tienen prisa, se lo juegan a la 21.

De un montón de 21 fichas, pueden retirar alternativamente, una, dos o tres fichas del montón. Quien retira la última ficha gana y se podrá ir antes.

¿Qué estrategia utilizarías para ganar?

Solución: Aquí.

Solución a sumas

Problema 4 del nivel B de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Observa la suma siguiente:

9 + 26 = 35

De los tres números implicados, uno es divisible por 2, pero no todos.

Uno es divisible por 3, pero no todos.

Uno es divisible por 5, pero no todos.

Uno es divisible por 7, pero no todos.

No hay ningún número entero mayor que 1 que divida a los tres números.

Una suma de este tipo, diremos que es interesante.

a) Demuestra brevemente que ningún número mayor que uno divide a dos de los tres números implicados en una suma interesante.

b) ¿Puedes encontrar todas las sumas interesantes en las que el resultado es menor que 30?

Solución:
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Sumas

Problema 4 del nivel B de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Observa la suma siguiente:

9 + 26 = 35

De los tres números implicados, uno es divisible por 2, pero no todos.

Uno es divisible por 3, pero no todos.

Uno es divisible por 5, pero no todos.

Uno es divisible por 7, pero no todos.

No hay ningún número entero mayor que 1 que divida a los tres números.

Una suma de este tipo, diremos que es interesante.

a) Demuestra brevemente que ningún número mayor que uno divide a dos de los tres números implicados en una suma interesante.

b) ¿Puedes encontrar todas las sumas interesantes en las que el resultado es menor que 30?

Solución: Aquí.