Solución a no acaba en uno

Problema 1 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dado un número natural n > 1 realizamos la siguiente operación: si n es par, lo dividimos entre 2; si n es impar, le sumamos 5.

Si el número obtenido tras esta operación es 1, paramos el proceso; en caso contrario, volvemos a aplicar la misma operación, y así sucesivamente.

Determinar todos los valores de n para los cuales este proceso es finito, es decir, se llega a 1 en algún momento.
Solución:
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No acaba en uno

Problema 1 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dado un número natural n > 1 realizamos la siguiente operación: si n es par, lo dividimos entre 2; si n es impar, le sumamos 5.

Si el número obtenido tras esta operación es 1, paramos el proceso; en caso contrario, volvemos a aplicar la misma operación, y así sucesivamente.

Determinar todos los valores de n para los cuales este proceso es finito, es decir, se llega a 1 en algún momento.
Solución: Aquí.

Solución a conjunto bescanoní

Problema 2 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n= 2k un número entero positivo.

Se dice que un subconjunto A de {1, 2, 3, …, n} es bescanoní si cumple que

1) El número 1 pertenece al conjunto.

2) Si un número x pertenece al conjunto, entonces 2x no pertenece al conjunto.

Se pide:

a) Encontrar un conjunto bescanoní con el máximo número de elementos cuando n = 2⁵.

b) Calcular el máximo número de elementos que puede tener un conjunto bescanoní en función de k.
Solución:
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Subconjunto bescanoní

Problema 2 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n= 2k un número entero positivo.

Se dice que un subconjunto A de {1, 2, 3, …, n} es bescanoní si cumple que

1) El número 1 pertenece al conjunto.

2) Si un número x pertenece al conjunto, entonces 2x no pertenece al conjunto.

Se pide:

a) Encontrar un conjunto bescanoní con el máximo número de elementos cuando n = 2⁵.

b) Calcular el máximo número de elementos que puede tener un conjunto bescanoní en función de k.
Solución: Aquí.

Solución a cinco puntos en una circunferencia

Problema 1 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Cinco puntos, P, P1, P2, P3 y P4, están sobre la misma circunferencia.

Demuestra que el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 es igual al producto de las distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4.

(En la imagen se puede acceder a un ejemplo interactivo, en el que se pueden mover los puntos)

Solución:
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Cinco puntos en una circunferencia

Problema 1 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Cinco puntos, P, P1, P2, P3 y P4, están sobre la misma circunferencia.

Demuestra que el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 es igual al producto de las distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4.

(En la imagen se puede acceder a un ejemplo interactivo, en el que se pueden mover los puntos)

Solución: Aquí.

El menor de los máximos

Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.

Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.

Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución: Aquí.