Volver los números iguales

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n >= 3 un entero positivo.

Los primeros n números positivos, 1, 2, … , n se escriben en una pizarra.

María realiza el siguiente proceso tantas veces como se quiera: primero elige dos números en una pizarra, y luego los reemplaza con aquellos que resultan de sumarle a ambos el mismo número positivo.

Determinar todos los enteros positivos n para los que María puede conseguir, repitiendo este proceso, que todos los números de la pizarra sean iguales.

Solución a números de colores

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n un entero positivo.

Cada uno de los números 1, 2, 3, …, 2023 se pinta de un color a escoger entre n distintos.

Una vez coloreados, se observa que cualquier par (a, b) con a < b y de manera que a | b (a divide a b), satisface que a y b son de distinto color.

Encuentra el menor valor de n para el cual esta situación es posible.

Solución:
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Números de colores

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n un entero positivo.

Cada uno de los números 1, 2, 3, …, 2023 se pinta de un color a escoger entre n distintos.

Una vez coloreados, se observa que cualquier par (a, b) con a < b y de manera que a | b (a divide a b), satisface que a y b son de distinto color.

Encuentra el menor valor de n para el cual esta situación es posible.

Solución: Aquí.

Solución a unos polinomios muy especiales

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de números reales x, y, z.

Solución:
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Unos polinomios muy especiales

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de números reales x, y, z.

Solución: Aquí.

Solución a un sistema con potencias

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años
Hallar todas las ternas de números reales (a, b, c) que cumplan el sistema:
a + b + c = 3
2a + 2b + 2c = 7
2-a + 2-b = ¾

Solución:
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Solución a 13 puntos en una estrella

Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos son iguales.

A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo.

Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.

(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el triángulo equilátero del que son vértices puede no estar trazado en las líneas de la figura dibujada.)

Solución:
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13 puntos en una estrella

Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos son iguales.

A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo.

Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.

(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el triángulo equilátero del que son vértices puede no estar trazado en las líneas de la figura dibujada.)

Solución: Aquí.

Solución a un punto en el cuadrilátero

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero convexo, y sea P un punto en su interior.

Si se cumple que área(PAB)·área(PCD) = área(PBC)·área(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.

Solución:
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