Subconjunto bescanoní

Problema 2 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n= 2k un número entero positivo.

Se dice que un subconjunto A de {1, 2, 3, …, n} es bescanoní si cumple que

1) El número 1 pertenece al conjunto.

2) Si un número x pertenece al conjunto, entonces 2x no pertenece al conjunto.

Se pide:

a) Encontrar un conjunto bescanoní con el máximo número de elementos cuando n = 2⁵.

b) Calcular el máximo número de elementos que puede tener un conjunto bescanoní en función de k.

Solución a cinco puntos en una circunferencia

Problema 1 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Cinco puntos, P, P1, P2, P3 y P4, están sobre la misma circunferencia.

Demuestra que el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 es igual al producto de las distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4.

(En la imagen se puede acceder a un ejemplo interactivo, en el que se pueden mover los puntos)

Solución:
Continue reading Solución a cinco puntos en una circunferencia

Cinco puntos en una circunferencia

Problema 1 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Cinco puntos, P, P1, P2, P3 y P4, están sobre la misma circunferencia.

Demuestra que el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 es igual al producto de las distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4.

(En la imagen se puede acceder a un ejemplo interactivo, en el que se pueden mover los puntos)

Solución: Aquí.

El menor de los máximos

Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.

Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.

Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución: Aquí.

Solución a conjunto infinito de primos

Problema 2 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determinar si existe un conjunto finito S formado por números primos positivos de manera que para cada entero n ≥ 2, el número 2² + 3² + … + n² sea múltiplo de algún elemento de S.

Solución:
Continue reading Solución a conjunto infinito de primos

Solución a números orensanos

Problema 1 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un conjunto de números enteros T es orensano si existen tres números, llamados a, b y c, a < b < c, tales que a y c pertenecen a T y b no pertenece a T.

Hallar el número de subconjuntos T de {1, 2, … , 2019} que son orensanos.

Solución:
Continue reading Solución a números orensanos