Solución a unos polinomios muy especiales

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de números reales x, y, z.
Solución:
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Unos polinomios muy especiales

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de números reales x, y, z.
Solución: Aquí.

Solución a un sistema con potencias

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años
Hallar todas las ternas de números reales (a, b, c) que cumplan el sistema:
a + b + c = 3
2a + 2b + 2c = 7
2-a + 2-b = ¾

Solución:
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Solución a 13 puntos en una estrella

Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos son iguales.

A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo.

Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.

(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el triángulo equilátero del que son vértices puede no estar trazado en las líneas de la figura dibujada.)

Solución:
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13 puntos en una estrella

Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos son iguales.

A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo.

Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.

(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el triángulo equilátero del que son vértices puede no estar trazado en las líneas de la figura dibujada.)

Solución: Aquí.

Solución a un punto en el cuadrilátero

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero convexo, y sea P un punto en su interior.

Si se cumple que área(PAB)·área(PCD) = área(PBC)·área(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.

Solución:
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Un punto en el cuadrilátero

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero convexo, y sea P un punto en su interior.

Si se cumple que área(PAB)·área(PCD) = área(PBC)·área(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.

Solución: Aquí.

Solución a la fila de 2022 personas

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fila hay 2022 personas.

Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad.

Todos ellos afirman “Hay más mentirosos a mi izquierda que gente que dice la verdad a mi derecha”.

Determinar cuántos mentirosos hay en la fila.
Solución:
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La fila de 2022 personas

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fila hay 2022 personas.

Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad.

Todos ellos afirman “Hay más mentirosos a mi izquierda que gente que dice la verdad a mi derecha”.

Determinar cuántos mentirosos hay en la fila.
Solución: Aquí.