Solución a triángulo y cuadrado en una rejilla

Problema 1 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una cuadrícula de puntos plana cuyos puntos distan un centímetro del más próximo horizontal y verticalmente, dibujamos un triángulo que se apoya en los puntos de coordenadas (0, 0), (4, 3) y (1, 4), y un cuadrado en los vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) y (1, 2), como indica la figura.

¿Cuál es el área de la parte común?

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Triángulo y cuadrado en una rejilla

Problema 1 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una cuadrícula de puntos plana cuyos puntos distan un centímetro del más próximo horizontal y verticalmente, dibujamos un triángulo que se apoya en los puntos de coordenadas (0, 0), (4, 3) y (1, 4), y un cuadrado en los vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) y (1, 2), como indica la figura.

¿Cuál es el área de la parte común?

Solución: Aquí.

Solución a menores que 20182019

Problema 0 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Cuántas soluciones enteras tiene el sistema de ecuaciones x² = y³ = K para valores de k menores que 20182019?

Nota: una solución es una terna (x, y, k).

En este problema se piden los casos en los que tanto x, como y, como k, son números enteros.
Solución:
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Solución a los polinomios del 2017 y del 2018

Problema 7 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

a) Para una función polinómica de segundo grado p(x) = x² + ax + b con coeficientes a y b enteros, existen dos números diferentes m y n que cumplen p(m) = p(n) = 2017. Demuestra que no existe ningún número entero z que cumpla p(z) = 2018.

b) Dar un ejemplo de una función polinómica q(x) con coeficientes enteros para la cual existan tres números enteros n, m y z que cumplan q(m) = q(n) = 2017 y q(z) = 2018.

c) Para una función polinómica de grado n f(x) = xn + … con coeficientes enteros, existen tres números enteros diferentes m, q y r, que cumplen f(m) = f(q) = f(r) = 2017. Demuestra que no puede haber ningún número entero z que cumpla f(z) = 2018.

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Los Polinomios del 2017 y del 2018

Problema 7 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

a) Para una función polinómica de segundo grado p(x) = x² + ax + b con coeficientes a y b enteros, existen dos números diferentes m y n que cumplen p(m) = p(n) = 2017. Demuestra que no existe ningún número entero z que cumpla p(z) = 2018.

b) Dar un ejemplo de una función polinómica q(x) con coeficientes enteros para la cual existan tres números enteros n, m y z que cumplan q(m) = q(n) = 2017 y q(z) = 2018.

c) Para una función polinómica de grado n f(x) = xn + … con coeficientes enteros, existen tres números enteros diferentes m, q y r, que cumplen f(m) = f(q) = f(r) = 2017. Demuestra que no puede haber ningún número entero z que cumpla f(z) = 2018.

Solución: Aquí.

Solución a extraer un par de bolas

Problema 11 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una bolsa hay n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un número natural.

Hacemos el experimento aleatorio de extraer dos bolas de esa bolsa y sumar los números que aparecen.

Designamos como p la probabilidad de que la suma de ambos números sea par, y q la probabilidad de que sea impar.

Estudia cuáles pueden ser los valores de n y qué distribución han de tener los números de la bolsa para que se cumpla que p = q.
Solución:
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Extraer un par de bolas

Problema 11 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una bolsa hay n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un número natural.

Hacemos el experimento aleatorio de extraer dos bolas de esa bolsa y sumar los números que aparecen.

Designamos como p la probabilidad de que la suma de ambos números sea par, y q la probabilidad de que sea impar.

Estudia cuáles pueden ser los valores de n y qué distribución han de tener los números de la bolsa para que se cumpla que p = q.
Solución: Aquí

Solución a semicircunferencias en circunferencia

Problema 10 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En el interior de una circunferencia dibujamos dos semicircunferencias tangentes entre sí de forma que los diámetros son paralelos y tienen los extremos en puntos de la circunferencia.

Demuestra que la suma de las áreas de las dos semicircunferencias es exactamente la mitad del área del círculo de la circunferencia inicial.

Solución:
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