Problema 6 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se escribe la sucesión de fracciones siguiente:
1/1, 1/2, 2/2, 1/2, 1/3, 2/3, 3/3, 2/3, 1/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 3/4, 2/4, 1/4, …
¿Cuánto suman las fracciones que están escritas con el mismo denominador que la que ocupa la posición número 2022?
Nota: para evitar otras posibles interpretaciones, decimos que el patrón para construir la sucesión es el siguiente: se escriben todas las fracciones positivas menores que 1 de denominador n, y después la fracción n/n y a continuación las mismas fracciones en orden decreciente. Y se retoma la escritura para el siguiente valor de n.
Solución:
Necesitamos estudiar la sucesión que nos marca cuántas fracciones hay para un valor de n determinado con n en el denominador. En cuanto piensas un poco, está claro que son 2n – 1, ya que hay n fracciones menor o iguales que 1 con n en el denominador. Evidentemente, para cada denominador escribimos en la sucesión n + n – 1 fracciones, por lo que el total de ese tipo de fracciones es n.
Además, cada una de estas colecciones suman n, ya que en el primer grupo y en el segundo podemos encontrar una fracción y la que suma 1 con ella (y la que es n/n suma 1 sin necesidad de ninguna fracción más).
Por lo tanto sólo tenemos que saber qué denominador exactamente es el que tiene la fracción que ocupa la posición 2022 y tendremos la respuesta.
Observamos que la forma de saber hasta qué posición hay fracciones de un denominador dado consiste en sumar los números totales de fracciones de los grupos anteriores.
Es decir, denominador 1 sólo hay en la primera fracción. Denominador 2 hay hasta la fracción 1 + 3 = 4, denominador 3, hasta la 1 + 3 + 5 = 9. Basta, por tanto, sumar la progresión aritmética 2n – 1 para obtener el último número para el que hay fracciones de un denominador dado (y en este caso es n·(1 + 2n – 1)/2 = n².
Por lo tanto, mediante la función inversa, la raíz, podemos conocer en qué valores se va a cambiar de fracción. Puesto que la raíz cuadrada de 2022 es mayor que 44, sabemos que hasta la posición 44² = 1936 tendremos fracciones de denominador 44, y a partir de 1937 tendremos denominador 45 hasta 45² = 2025.
Por lo tanto la respuesta es 45, que es lo que deben sumar las 89 fracciones de denominador 45.
