Juego para dos

Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.

Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.

En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.

El número de cada carta indica su valor en puntos.

Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.

Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.

Solución a dos reuniones, dos problemas

Problema 14 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.

Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.

En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.

Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.

Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.

Solución:
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Dos reuniones, dos problemas

Problema 14 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.

Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.

En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.

Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.

Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.

Solcución: Aquí.

Solución a polinomios almerienses

Problema 1 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Decimos que un polinomio p(x) , con coeficientes reales, es almeriense si tiene la forma p(x) = x³ + ax² + bx + a, y sus tres raíces son números reales positivos en progresión aritmética.

Halla todos los polinomios almerienses tales que p(7/4) = 0.

Solución:
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Polinomios almerienses

Problema 1 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Decimos que un polinomio p(x) , con coeficientes reales, es almeriense si tiene la forma p(x) = x³ + ax² + bx + a, y sus tres raíces son números reales positivos en progresión aritmética.

Halla todos los polinomios almerienses tales que p(7/4) = 0.

Solución: Aquí.

Solución a doblar la matrícula

Problema 12 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Las matrículas actuales de los coches usan un código de cuatro cifras (desde el 0000 al 9999), seguido de tres letras (desde el BBB al ZZZ).

Por diferentes razones sólo se usan estas 20 letras: B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, V, W, X, Y, Z.

En un determinado momento se matriculó el coche 2020CCC.

Cuando llevaban matriculados exactamente el doble de vehículos que en ese momento ¿cuál era la matrícula del último matriculado?
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Doblar la matrícula

Problema 12 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Las matrículas actuales de los coches usan un código de cuatro cifras (desde el 0000 al 9999), seguido de tres letras (desde el BBB al ZZZ).

Por diferentes razones sólo se usan estas 20 letras: B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, V, W, X, Y, Z.

En un determinado momento se matriculó el coche 2020CCC.

Cuando llevaban matriculados exactamente el doble de vehículos que en ese momento ¿cuál era la matrícula del último matriculado?
Solución: Aquí.

Solución a tres números relacionados

Problema 11 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tenemos tres números relacionados, a, x e y, de forma que x = a + 1/a, y también y = a³ + 1/a³.

¿Puedes escribir una fórmula que permita expresar y en función de x?

Solución:
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Solución a tres vértices alineados

Problema 10 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tres cuadrados que tienen las bases alineadas tienen la propiedad de que su vértice superior izquierdo está alineado.

Suponiendo que tenemos el valor a del lado del cuadrado menor, y el valor b del lado del cuadrado mediano, determina el valor del lado x del lado del cuadrado mayor.

Solución:
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