Altura de cuatro jugadoras

Problema 8 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Se nos dan cuatro valores, T, m n y p. Podemos dar la solución con unos valores concretos y explicar cómo se calcula, pero se apreciaría más dar la solución general.

Alba, Berta, Carmen y Diana son cuatro jugadoras de un equipo de baloncesto.

Las cuatro tienen alturas diferentes, y entre todas suman T centímetros.

Alba mide m centímetros más que Carmen.

Diana mide n centímetros más que Berta.

Si sumamos la altura de la más alta y la de la más baja, el resultado es p centímetros inferior al resultado de la suma de las otras dos.

¿Cuánto miden las cuatro jugadoras?

Solución a cociente de áreas

Problema 6 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En un triángulo rectángulo ABC, la hipotenusa AC se divide en 12 partes iguales.

De cada una de ellas se traza una paralela al cateto BC, hasta el cateto AB, dividiendo el triángulo en 12 polígonos (un triángulo y 11 trapecios).

Hemos marcado dos de ellos, el cuarto a partir del vértice A, y el cuarto a partir del cateto BC.

¿Cuánto vale el resultado de dividir el área del mayor de los dos entre el otro?

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Cociente de áreas

Problema 6 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En un triángulo rectángulo ABC, la hipotenusa AC se divide en 12 partes iguales.

De cada una de ellas se traza una paralela al cateto BC, hasta el cateto AB, dividiendo el triángulo en 12 polígonos (un triángulo y 11 trapecios).

Hemos marcado dos de ellos, el cuarto a partir del vértice A, y el cuarto a partir del cateto BC.

¿Cuánto vale el resultado de dividir el área del mayor de los dos entre el otro?

Solución: Aquí.

Solución a polígonos regulares encajables

Problema 7 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En la imagen de ejemplo podemos ver cómo podemos encajar un polígono regular de 10 lados, uno de 3 (triángulo equilátero) y otro de 15, sin dejar espacios entre ellos.

a) Estudiar y razonar con todo detalle todos los valores de m y n (pueden ser iguales, pero supondremos que m es menor o igual que n) que hacen que un polígono regular de m lados, otro de n lados y un triángulo equilátero encajan sin dejar espacio entre los tres.

b) Estudiar todos los posibles valores de m, n y p (donde m menor o igual que n, y n menor o igual que p) en los que tres polígonos regulares de tamaños m, n y p encajan sin dejar huecos.

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Polígonos regulares encajables

Problema 7 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En la imagen de ejemplo podemos ver cómo podemos encajar un polígono regular de 10 lados, uno de 3 (triángulo equilátero) y otro de 15, sin dejar espacios entre ellos.

a) Estudiar y razonar con todo detalle todos los valores de m y n (pueden ser iguales, pero supondremos que m es menor o igual que n) que hacen que un polígono regular de m lados, otro de n lados y un triángulo equilátero encajan sin dejar espacio entre los tres.

b) Estudiar todos los posibles valores de m, n y p (donde m menor o igual que n, y n menor o igual que p) en los que tres polígonos regulares de tamaños m, n y p encajan sin dejar huecos.

Solución: Aquí.

Solución a edades en una reunión

Problema 5 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión se da el curioso caso de que la media de las edades de las personas presentes coincide con el número de personas.

En ese momento, llega a la reunión otra nueva persona que tiene una edad A, y ¡qué casualidad! Vuelve a darse que la edad media coincide con el número de personas presentes.

¿Cuántas personas hay al final, en función de la edad A?

Solución:
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Edades en una reunión

Problema 5 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión se da el curioso caso de que la media de las edades de las personas presentes coincide con el número de personas.

En ese momento, llega a la reunión otra nueva persona que tiene una edad A, y ¡qué casualidad! Vuelve a darse que la edad media coincide con el número de personas presentes.

¿Cuántas personas hay al final, en función de la edad A?

Solución: Aquí.

Solución a triángulos diferentes

Problema 3 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tenemos siete listones, cuyas longitudes, todas diferentes, en centímetros, son 3, 4, 7, 8, 24, 26 y 28.

¿Cuántos triángulos diferentes podemos construir uniendo tres de estos listones?

Se supone que dos triángulos son iguales si sus tres lados son iguales, aunque sean simétricos en lugar de iguales, es decir, se les puede dar la vuelta y poner los listones al revés, y siguen siendo iguales.
Solución:
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