Solución a completa el polígono

Problema 14 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Este es el problema de razonamiento que más puntos da del concurso. Se trata de resolver tres problemas similares en los que hay que razonar el área que falta para completar el polígono que se dibuja.

A) Un triángulo se ha descompuesto en dos partes, un cuadrilátero y un triángulo, tal y como se ve en la figura.

Se indican las longitudes de los segmentos en los que se han dividido los lados y el área del cuadrilátero.

Calcula el valor X del área del triángulo.

B)
Las dos diagonales de un cuadrilátero lo dividen en 4 triángulos. Si las áreas, tomadas en sentido horario, miden 24, 18, 12 y T, averigua el valor de T.

c) En un hexágono se trazan 4 diagonales, de la forma que indica el dibujo, y se ha descompuesto en seis triángulos y un cuadrilátero.

Conocemos las áreas de seis triángulos, que podemos ver en la figura.

Calcula el valor de Q, el área del cuadrilátero.

Solución:
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Completa el polígono

Problema 14 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Este es el problema de razonamiento que más puntos da del concurso. Se trata de resolver tres problemas similares en los que hay que razonar el área que falta para completar el polígono que se dibuja.

A) Un triángulo se ha descompuesto en dos partes, un cuadrilátero y un triángulo, tal y como se ve en la figura.

Se indican las longitudes de los segmentos en los que se han dividido los lados y el área del cuadrilátero.

Calcula el valor X del área del triángulo.

B)
Las dos diagonales de un cuadrilátero lo dividen en 4 triángulos. Si las áreas, tomadas en sentido horario, miden 24, 18, 12 y T, averigua el valor de T.

c) En un hexágono se trazan 4 diagonales, de la forma que indica el dibujo, y se ha descompuesto en seis triángulos y un cuadrilátero.

Conocemos las áreas de seis triángulos, que podemos ver en la figura.

Calcula el valor de Q, el área del cuadrilátero.

Solución a nueve dados

Problema 13 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tenemos 9 dados. Cuatro son de color ámbar, tres de color azul, y dos de color rojo.

Los dados de cada color son indistinguibles entre sí.

Los queremos poner, los nueve, unidos cada uno de ellos con el otro por un lado. En el dibujo aparece un ejemplo.

A) ¿De cuántas maneras podemos situar los dados, fijándonos únicamente en el color, de forma que cada uno de ellos tenga, tocándole, otro del mismo color?

B) ¿De cuántas formas podemos situar los dados para que ninguno de ellos tenga, tocándole, a ninguno del mismo color?

Solución:
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Nueve dados

Problema 13 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tenemos 9 dados. Cuatro son de color ámbar, tres de color azul, y dos de color rojo.

Los dados de cada color son indistinguibles entre sí.

Los queremos poner, los nueve, unidos cada uno de ellos con el otro por un lado. En el dibujo aparece un ejemplo.

A) ¿De cuántas maneras podemos situar los dados, fijándonos únicamente en el color, de forma que cada uno de ellos tenga, tocándole, otro del mismo color?

B) ¿De cuántas formas podemos situar los dados para que ninguno de ellos tenga, tocándole, a ninguno del mismo color?

Solución: Aquí.

Solución a llegando a la fiesta

Problema 12 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una sala hay m personas que tienen una media de edad de A años y A es un número entero.

Entonces llega otro grupo con n personas que tienen una media de edad de A + 7 años.

Resulta que la media de edad de todas las personas de la sala es, ahora, también un número entero.

¿Cuántos valores diferentes puede tener la razón m/n y cuál es la suma de todos esos valores?

A los concursantes, en lugar de 7 les aparecía otro valor, que dependía de su contraseña.

Solución:
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Llegando a la fiesta

Problema 12 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años 

En una sala hay m personas que tienen una media de edad de A años y A es un número entero.

Entonces llega otro grupo con n personas que tienen una media de edad de A + 7 años.

Resulta que la media de edad de todas las personas de la sala es, ahora, también un número entero.

¿Cuántos valores diferentes puede tener la razón m/n y cuál es la suma de todos esos valores?

A los concursantes, en lugar de 7 les aparecía otro valor, que dependía de su contraseña.

Solución: Aquí.

Solución a la operación

Problema 11 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Alberto le dice a María:

Mira, he inventado una operación compuesta, #, que da estos resultados:

2#3 = 12

6#5 = 60

8#4 = 64

7#2 = 28

Y le pregunta ¿Qué te parece que debe dar 9#7?

María le responde: Me parece que puede haber muchas soluciones.

Y Alberto le aclara: Oh, he olvidado decirte que esta operación mía es resultado de hacer dos operaciones elementales encadenadas con los números que se operan (en la segunda se usa el número que se obtiene de la prinera, claro).

Y María dice: Ahora sí tengo un resultado.

¿Cuál es el resultado que obtiene María para 9#7?

Solución:
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La operación

Problema 11 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Alberto le dice a María:

Mira, he inventado una operación compuesta, #, que da estos resultados:

2#3 = 12

6#5 = 60

8#4 = 64

7#2 = 28

Y le pregunta ¿Qué te parece que debe dar 9#7?

María le responde: Me parece que puede haber muchas soluciones.

Y Alberto le aclara: Oh, he olvidado decirte que esta operación mía es resultado de hacer dos operaciones elementales encadenadas con los números que se operan (en la segunda se usa el número que se obtiene de la prinera, claro).

Y María dice: Ahora sí tengo un resultado.

¿Cuál es el resultado que obtiene María para 9#7?

Solución: Aquí.

Solución a invirtiendo las reglas

Problema 10 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Aplicamos una de las siguientes reglas a un número positivo n:

Si n es impar, lo incrementamos 5 unidades, pasamos a n + 5.

Si n es par, lo dividimos por 2, y por tanto pasamos a n/2.

Aplicamos esta regla a un número entero k y obtenemos r.

Después aplicamos la regla a r y obtenemos s.

Finalmente aplicamos la regla a s y obtenemos t.

Si resulta que t es 2022, ¿cuál es el valor más pequeño que puede tener el número inicial k?

Solución:
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Invirtiendo las reglas

Problema 10 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Aplicamos una de las siguientes reglas a un número positivo n:

Si n es impar, lo incrementamos 5 unidades, pasamos a n + 5.

Si n es par, lo dividimos por 2, y por tanto pasamos a n/2.

Aplicamos esta regla a un número entero k y obtenemos r.

Después aplicamos la regla a r y obtenemos s.

Finalmente aplicamos la regla a s y obtenemos t.

Si resulta que t es 2022, ¿cuál es el valor más pequeño que puede tener el número inicial k?

Solución: Aquí.