Solución a dos reuniones, dos problemas

Problema 14 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.

Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.

En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.

Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.

Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.

Solución:
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Dos reuniones, dos problemas

Problema 14 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.

Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.

En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.

Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.

Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.

Solcución: Aquí.

Solución a doblar la matrícula

Problema 12 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Las matrículas actuales de los coches usan un código de cuatro cifras (desde el 0000 al 9999), seguido de tres letras (desde el BBB al ZZZ).

Por diferentes razones sólo se usan estas 20 letras: B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, V, W, X, Y, Z.

En un determinado momento se matriculó el coche 2020CCC.

Cuando llevaban matriculados exactamente el doble de vehículos que en ese momento ¿cuál era la matrícula del último matriculado?
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Doblar la matrícula

Problema 12 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Las matrículas actuales de los coches usan un código de cuatro cifras (desde el 0000 al 9999), seguido de tres letras (desde el BBB al ZZZ).

Por diferentes razones sólo se usan estas 20 letras: B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, V, W, X, Y, Z.

En un determinado momento se matriculó el coche 2020CCC.

Cuando llevaban matriculados exactamente el doble de vehículos que en ese momento ¿cuál era la matrícula del último matriculado?
Solución: Aquí.

Solución a tres números relacionados

Problema 11 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tenemos tres números relacionados, a, x e y, de forma que x = a + 1/a, y también y = a³ + 1/a³.

¿Puedes escribir una fórmula que permita expresar y en función de x?

Solución:
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Solución a tres vértices alineados

Problema 10 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tres cuadrados que tienen las bases alineadas tienen la propiedad de que su vértice superior izquierdo está alineado.

Suponiendo que tenemos el valor a del lado del cuadrado menor, y el valor b del lado del cuadrado mediano, determina el valor del lado x del lado del cuadrado mayor.

Solución:
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Tres vértices alineados

Problema 10 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tres cuadrados que tienen las bases alineadas tienen la propiedad de que su vértice superior izquierdo está alineado.

Suponiendo que tenemos el valor a del lado del cuadrado menor, y el valor b del lado del cuadrado mediano, determina el valor del lado x del lado del cuadrado mayor.

Solución: Aquí.

Solución a el viaje

Problema 9 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Un centro escolar organizó un viaje en autobús que tiene un coste total fijo para el centro independientemente del número de alumnos que vayan. El centro divide el coste total entre el número de personas que se apunten.

Se inscribieron más de veinte y, cuando calcularon el coste individual que supondría, el resultado fue una cantidad entera de euros.

Cuando anunciaron el coste, cuatro de los que se habían apuntado se borraron. Volvieron a calcular el coste individual, que curiosamente fue otra vez un número entero de euros, y se comenzó a recaudar el dinero. Todo fue bien hasta llegar a los dos últimos, que dijeron que no podrían ir a la excursión.

El día del viaje se volvió a calcular el coste del viaje por participante, que volvió a ser un número entero, y se tuvieron que recoger 3€ más a cada uno de los alumnos que finalmente fueron y que habían pagado ya la parte que les correspondía anteriormente.

¿Cuánto ha costado finalmente el viaje a cada participante?

Solución:
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El viaje

Problema 9 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Un centro escolar organizó un viaje en autobús que tiene un coste total fijo para el centro independientemente del número de alumnos que vayan. El centro divide el coste total entre el número de personas que se apunten.

Se inscribieron más de veinte y, cuando calcularon el coste individual que supondría, el resultado fue una cantidad entera de euros.

Cuando anunciaron el coste, cuatro de los que se habían apuntado se borraron. Volvieron a calcular el coste individual, que curiosamente fue otra vez un número entero de euros, y se comenzó a recaudar el dinero. Todo fue bien hasta llegar a los dos últimos, que dijeron que no podrían ir a la excursión.

El día del viaje se volvió a calcular el coste del viaje por participante, que volvió a ser un número entero, y se tuvieron que recoger 3€ más a cada uno de los alumnos que finalmente fueron y que habían pagado ya la parte que les correspondía anteriormente.

¿Cuánto ha costado finalmente el viaje a cada participante?

Solución: Aquí.