Solución a número de divisores

Problema 15 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Consideramos el conjunto An = {1, 2, 3, … , 10n – 1, 10n} de todos los enteros positivos desde el 1 hasta el 10n.

a) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 2 o múltiplos de 3.

b) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 8 o múltiplos de 11.

Nota. La o no es exclusiva, es decir, que hay que incluir en el recuento los que sean múltiplos de ambos números. Naturalmente, la respuesta se dará en función de n, aunque es posible que algunos casos se deban detallar.
Solución:
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Número de divisores

Problema 15 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Consideramos el conjunto An = {1, 2, 3, … , 10n – 1, 10n} de todos los enteros positivos desde el 1 hasta el 10n.

a) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 2 o múltiplos de 3.

b) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 8 o múltiplos de 11.

Nota. La o no es exclusiva, es decir, que hay que incluir en el recuento los que sean múltiplos de ambos números. Naturalmente, la respuesta se dará en función de n, aunque es posible que algunos casos se deban detallar.
Solución: Aquí.

Solución a un hexágono en un triángulo

Problema 14 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En un triángulo acutángulo trazamos, desde el punto medio de cada lado, las dos perpendiculares a los otros dos lados.
Justifica que estas 6 rectas forman un hexágono.

¿Qué valor tiene la razón entre las áreas del triángulo y del hexágono?

Demuestra que la razón que has calculado es constante, es decir, no depende de cuál sea el triángulo inicial.

Solución:
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Un hexágono en un triángulo

Problema 14 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En un triángulo acutángulo trazamos, desde el punto medio de cada lado, las dos perpendiculares a los otros dos lados.
Justifica que estas 6 rectas forman un hexágono.

¿Qué valor tiene la razón entre las áreas del triángulo y del hexágono?

Demuestra que la razón que has calculado es constante, es decir, no depende de cuál sea el triángulo inicial.

Solución: Aquí.

Solución a cubo inscrito en pirámide

Problema 13 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Una pirámide de base cuadrada tiene todas sus caras triangulares formadas por triángulos equiláteros, de la misma longitud L.

Cortamos esta pirámide por un plano paralelo a la base y proyectamos sobre la base los cuatro puntos de corte de este plano con las aristas.

De esta forma, queda definido un cubo. Podemos ver un dibujo en la imagen siguiente.

¿Qué porcentaje del volumen de la pirámide queda ocupado por este cubo?

Solución:
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Cubo inscrito en pirámide

Problema 13 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Una pirámide de base cuadrada tiene todas sus caras triangulares formadas por triángulos equiláteros, de la misma longitud L.

Cortamos esta pirámide por un plano paralelo a la base y proyectamos sobre la base los cuatro puntos de corte de este plano con las aristas.

De esta forma, queda definido un cubo. Podemos ver un dibujo en la imagen siguiente.

¿Qué porcentaje del volumen de la pirámide queda ocupado por este cubo?

Solución: Aquí.

Solución a media cuadriculada

Problema 12 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una cuadrícula de RxR casillas escribimos un 1 en todas las casillas que corresponden a una fila impar y columna impar; escribimos un 4 en todas las casillas que corresponden a una fila y una columna que tienen diferente paridad, y escribimos un 7 en las casillas que corresponden a una fila par y una columna par.

¿Cuál es la media aritmética de todos los números que hemos escrito?

Nota: debemos proporcionar una expresión para el caso en que R sea par, y otro para el caso en que R sea impar. Si, además, proporcionamos una expresión que sea válida para ambos casos, supondrá una puntuación extra (0,2 puntos añadidos a los 3 del problema).

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Media cuadriculada

Problema 12 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una cuadrícula de RxR casillas escribimos un 1 en todas las casillas que corresponden a una fila impar y columna impar; escribimos un 4 en todas las casillas que corresponden a una fila y una columna que tienen diferente paridad, y escribimos un 7 en las casillas que corresponden a una fila par y una columna par.

¿Cuál es la media aritmética de todos los números que hemos escrito?

Nota: debemos proporcionar una expresión para el caso en que R sea par, y otro para el caso en que R sea impar. Si, además, proporcionamos una expresión que sea válida para ambos casos, supondrá una puntuación extra (0,2 puntos añadidos a los 3 del problema).

Solución a un extraño triángulo isósceles

Problema 11 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Marina tiene dibujado un triángulo isósceles.

Llamaremos base al lado de longitud diferente a los otros dos.

Desde uno de los vértices de la base, Marina traza un segmento hasta el lado opuesto, cuya longitud es igual a la longitud de la base.

Desde el punto obtenido, traza un segmento de la misma longitud que la base original que le lleva hasta el otro lado del triángulo original.

Desde ese otro punto, vuelve a trazar otro segmento hasta el otro lado del triángulo original que de nuevo tiene la misma longitud que la base.

En ese momento, se da cuenta de que la distancia desde el último punto hasta el vértice entre lados iguales del triángulo original, también es igual que la base, con lo que Marina ha descompuesto el triángulo original en cuatro triángulos que tienen dos lados, al menos, con la misma longitud que la base original.

¿Puedes dar la medida del ángulo opuesto a la base del triángulo original?

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Un extraño triángulo isósceles

Problema 11 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Marina tiene dibujado un triángulo isósceles.

Llamaremos base al lado de longitud diferente a los otros dos.

Desde uno de los vértices de la base, Marina traza un segmento hasta el lado opuesto, cuya longitud es igual a la longitud de la base.

Desde el punto obtenido, traza un segmento de la misma longitud que la base original que le lleva hasta el otro lado del triángulo original.

Desde ese otro punto, vuelve a trazar otro segmento hasta el otro lado del triángulo original que de nuevo tiene la misma longitud que la base.

En ese momento, se da cuenta de que la distancia desde el último punto hasta el vértice entre lados iguales del triángulo original, también es igual que la base, con lo que Marina ha descompuesto el triángulo original en cuatro triángulos que tienen dos lados, al menos, con la misma longitud que la base original.

¿Puedes dar la medida del ángulo opuesto a la base del triángulo original?