Solución a votación

Problema 1 del concurso Marató de problemes 2023
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Un grupo de personas hacen una primera votación sobre un tema de interés y un a% vota que sí y un (100 – a)% vota que no; nadie vota en blanco o se abstiene.

Al cabo de unos cuantos días, después de una nueva información, el mismo conjunto de personas vuelve a votar y el resultado es b% vota sí, y (100 – b)% vota no.

¿Qué tanto por ciento de personas ha cambiado de opinión como máximo? ¿Y como mínimo?

Solución:

Pensemos en primer lugar el mínimo número de cambios de opinión posibles.

Vamos a suponer que b es mayor o igual que a, pero en cualquier caso, los resultados se calcularían de forma similar.

Es evidente que como mínimo ha cambiado de opinión b – a de cada 100 personas, ya que el caso en que menos gente debe cambiar de opinión es si todos los que votan si se mantienen, y sólo b – a de los que antes votaban que no cambian de idea.

Si fuese a mayor que b, el resultado será a – b de cada 100.

Pensemos en cuántos deben haber cambiado de opinión como máximo.

Supongamos ahora que b + a es menor que 100 (aunque si es igual a 100, también es válido el razonamiento, como nos indican en un comentario). En ese caso, la mayor cantidad de gente que puede cambiar de idea es a + b, ya que en ese caso los que votaban que sí ahora votarían que no, y una cantidad de b que antes votaban que no, ahora votarán que sí.

Si b + a es mayor que 100, no todos los que votan que sí inicialmente pueden cambiar de idea, puesto que al menos b + a – 100 en total deben permanecer votando sí par que el total de votos final por el sí sea b. En ese caso, el resto de personas debería cambiar su voto (los que sí, por el no, y los que no, por el sí) un total de 200 – b – a de cada 100 pueden, como máximo cambiar su voto.

José Alberto, en los comentarios, me ha indicado que me había olvidado el caso en que a + b sumara exactamente 100, y que en ese caso, ambas fórmulas son equivalentes. Gracias por indicarlo.