Category: IMO

Regalo estacional de los organizadores de la edición 2019 de la Olimpiada Internacional
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Una entrada es una cadena de ceros y unos.

A partir de ella, escribimos una fila de unos y ceros usando las reglas del triángulo de Pascal, donde cada uno de los números es suma de los dos situados en diagonal por encima suyo.

Trabajamos “módulo 2”, es decir, 1 + 1 = 0.

Repetimos el proceso hasta que formamos un triángulo de números.

Por ejemplo, si la entrada es 1 0 1 1 1, el triángulo sería el siguiente:

1   0   1   1   1
  1   1   0   0
    0   1   0
      1   1
        0

La salida de este procedimiento es la cadena de unos y ceros que se puede leer en el lado de este triángulo desde el extremo inferior hasta el extremo superior derecho, en ese orden. En nuestro ejemplo es 0 1 0 0 1.

Si decidimos empezar con una entrada de longitud n, hay 2ⁿ posibles cadenas de entrada.

¿Cuántas de esas cadenas tienen la propiedad de que son las mismas que su cadena de salida correspondiente?

No son necesarios cálculos complejos. Use sólo ideas hermosas.

Solución:
Continue reading Solución a triángulo de Pascal binario

Problema 2 de la Olimpiada Internacional (2018)
Se dirige a una edad de: 17-19 años

Hallar todos los enteros n mayores o iguales a 3 para los que existen números reales a_₁, a_₂, …, a_{n + 2} tales que a_i·a_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} para i = 1, 2, …, n, y a_{n + 1} = a_₁, y a_{n + 2} = a_₂.

Solución:
Continue reading Solución a sucesión periódica y recursiva