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Category Archives: OME
Tres números
Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos una lista con los números 0, 1 y raíz(3).
De forma sucesiva, se va aplicando la siguiente operación: se escoge uno de los tres números de la lista y se le añade un múltiplo racional arbitrario de la diferencia entre los otros dos.
Repitiendo este proceso, ¿es posible conseguir que los tres números de la lista sean 0, raíz(3) − 1 y raíz(3) + 1?
Solución a “Ecuación diofántica”
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Halla todos los números enteros a y b que satisfacen la ecuación siguiente:
a(a² + b²) + 7 = 5a² + 3b²
Solución:
(more…)Ecuación diofántica
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Halla todos los números enteros a y b que satisfacen la ecuación siguiente:
a(a² + b²) + 7 = 5a² + 3b²
Solución: Aquí.
Solución a “Funciones que cumplen una igualdad”
Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones f : (0, +∞) → (0, +∞) que cumplen, para x, y > 0 cualesquiera, la igualdad siguiente:
f(x·f(y))) = f(x·y) + x
Solución:
(more…)Funciones que cumplen una igualdad
Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones f : (0, +∞) → (0, +∞) que cumplen, para x, y > 0 cualesquiera, la igualdad siguiente:
f(x·f(y))) = f(x·y) + x
Solución: Aquí.
Solución a “Coincidencia en un cuadrilátero”
Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero convexo de forma que AB∩CD = F y AD∩BC = E.
Demuestra que los circuncírculos de los triángulos BFC, AFD, DCE y ABE tienen un punto en común.
Solución:
(more…)Coincidencia en un cuadrilátero
Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero convexo de forma que AB∩CD = F y AD∩BC = E.
Demuestra que los circuncírculos de los triángulos BFC, AFD, DCE y ABE tienen un punto en común.
Solución: Aquí.
Solución a “Divisores que suman 1001”
Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determina el menor entero positivo n que tiene al menos 4 divisores diferentes a, b, c, y d, que son mayores que 1 y menores que n, de forma que a + b + c + d = 1001.
Solución:
(more…)Divisores que suman 1001
Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determina el menor entero positivo n que tiene al menos 4 divisores diferentes a, b, c, y d, que son mayores que 1 y menores que n, de forma que a + b + c + d = 1001.
Solcución: Aquí.
Solución a “Triángulo dividido”
Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Dividimos cada lado de un triángulo equilátero en n partes iguales, uniendo cada punto de los que hemos usado en la división con el vértice opuesto al lado donde está.
Determina el número de puntos de intersección interiores al triángulo determinados por estos segmentos en los siguientes casos.
(a) n es un número primo impar.
(b) n = 2p² , donde p es un número primo impar.
Solución:
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