Sólo dos distancias

Problema 10 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Queremos analizar qué estructuras geométricas puede tener un conjunto de puntos del plano con la propiedad de que si calculamos todas las distancias entre cualquier par de puntos del conjunto sólo resulten dos valores.

a) Comencemos por los conjuntos de tres puntos. Si están alineados, razona que el conjunto formado por dos extremos de un segmento y su punto medio cumple la propiedad pedida y ningún otro tipo de conjunto la tiene.

b) Pensemos ahora en los vértices de un triángulo. Si tomamos tres puntos que sean los vértices de un triángulo equilátero, este conjunto no cumple esa propiedad, ya que sólo aparece una única distancia entre todos ellos. Razona si existe o no un triángulo cuyos vértices formen un conjunto con esta propiedad.

c) Estudia qué estructuras pueden tener los conjuntos de 4 puntos del plano que cumplan la propiedad. Trata de indicar un camino para encontrarlas, dibújalas y justifica que cumplen la propiedad.

d) Repite el apartado anterior para conjuntos de 5 puntos.

Solución a unos polinomios muy especiales

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de números reales x, y, z.
Solución:
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Unos polinomios muy especiales

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de números reales x, y, z.
Solución: Aquí.

Solución a un sistema con potencias

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años
Hallar todas las ternas de números reales (a, b, c) que cumplan el sistema:
a + b + c = 3
2a + 2b + 2c = 7
2-a + 2-b = ¾

Solución:
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Solución a 13 puntos en una estrella

Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos son iguales.

A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo.

Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.

(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el triángulo equilátero del que son vértices puede no estar trazado en las líneas de la figura dibujada.)

Solución:
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13 puntos en una estrella

Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos son iguales.

A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo.

Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.

(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el triángulo equilátero del que son vértices puede no estar trazado en las líneas de la figura dibujada.)

Solución: Aquí.

Solución a un punto en el cuadrilátero

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero convexo, y sea P un punto en su interior.

Si se cumple que área(PAB)·área(PCD) = área(PBC)·área(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.

Solución:
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Un punto en el cuadrilátero

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero convexo, y sea P un punto en su interior.

Si se cumple que área(PAB)·área(PCD) = área(PBC)·área(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.

Solución: Aquí.

Solución a la fila de 2022 personas

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fila hay 2022 personas.

Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad.

Todos ellos afirman “Hay más mentirosos a mi izquierda que gente que dice la verdad a mi derecha”.

Determinar cuántos mentirosos hay en la fila.
Solución:
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