Subconjunto bescanoní

Problema 2 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n= 2k un número entero positivo.

Se dice que un subconjunto A de {1, 2, 3, …, n} es bescanoní si cumple que

1) El número 1 pertenece al conjunto.

2) Si un número x pertenece al conjunto, entonces 2x no pertenece al conjunto.

Se pide:

a) Encontrar un conjunto bescanoní con el máximo número de elementos cuando n = 2⁵.

b) Calcular el máximo número de elementos que puede tener un conjunto bescanoní en función de k.
Solución: Aquí.

Solución a de cuatro cifras

Problema 2 de la Olitele 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Cuántos números de cuatro cifras (desde el 1000 hasta el 9999) hay que cumplan que la suma del número formado por las dos primeras cifras, más la cifra de las decenas, más la de las unidades, sea igual que el número formado por las dos últimas cifras?
Solución:
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Solución a cinco puntos en una circunferencia

Problema 1 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Cinco puntos, P, P1, P2, P3 y P4, están sobre la misma circunferencia.

Demuestra que el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 es igual al producto de las distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4.

(En la imagen se puede acceder a un ejemplo interactivo, en el que se pueden mover los puntos)

Solución:
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Cinco puntos en una circunferencia

Problema 1 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Cinco puntos, P, P1, P2, P3 y P4, están sobre la misma circunferencia.

Demuestra que el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 es igual al producto de las distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4.

(En la imagen se puede acceder a un ejemplo interactivo, en el que se pueden mover los puntos)

Solución: Aquí.

Solución a rectángulo inclinado

Problema 1 de la Olitele 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

La figura muestra dos rectángulos, ABCD y BEFD, de forma que el lado DB del segundo rectángulo es una diagonal del primero y el lado EF pasa por C.

Si conocemos los lados m y p del primer rectángulo ¿Cuál es el área del segundo rectángulo?
Solución:
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Solución a ¿quién dice la verdad?

Problema 3 del nivel C de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

En el país Vermentira, la gente está dividida de la siguiente forma:

– Verdotones: los que siempre dicen la verdad.

– Mentirones: los que nunca dicen la verdad.

Lo curioso es que, además de esa característica, no hay manera de diferenciarlos por su apariencia.

Ahora supongamos que una persona viaja desde Madrid y, al llegar a Vermentita, se encuentra con tres mujeres: Alicia, Beatriz y Carmen. Esta persona conoce las características de la población y, como desea saber a qué categoría pertenece cada una de ellas, les hace las siguientes preguntas:

– A Alicia le pregunta: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Alicia le contesta: A mentirones.

– A Beatriz le pregunta: “¿Es verdad que Alicia y Carmen pertenecen a diferentes categorías?”. Y Beatriz le responde: No.

– Por último, le pregunta a Carmen lo mismo que le había preguntado a Alicia: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Carmen le dice: Ella es una verdotona.

Por tanto, con esas tres preguntas que hizo la persona:

– ¿Se puede determinar a qué categoría pertenece cada una de las mujeres?

– Si se pudiera determinar, indica a qué grupo pertenecerá cada una.

– Si no se pudiera, explica las razones.

Solución:
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¿Quién dice la verdad?

Problema 3 del nivel C de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

En el país Vermentira, la gente está dividida de la siguiente forma:

– Verdotones: los que siempre dicen la verdad.

– Mentirones: los que nunca dicen la verdad.

Lo curioso es que, además de esa característica, no hay manera de diferenciarlos por su apariencia.

Ahora supongamos que una persona viaja desde Madrid y, al llegar a Vermentita, se encuentra con tres mujeres: Alicia, Beatriz y Carmen. Esta persona conoce las características de la población y, como desea saber a qué categoría pertenece cada una de ellas, les hace las siguientes preguntas:

– A Alicia le pregunta: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Alicia le contesta: A mentirones.

– A Beatriz le pregunta: “¿Es verdad que Alicia y Carmen pertenecen a diferentes categorías?”. Y Beatriz le responde: No.

– Por último, le pregunta a Carmen lo mismo que le había preguntado a Alicia: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Carmen le dice: Ella es una verdotona.

Por tanto, con esas tres preguntas que hizo la persona:

– ¿Se puede determinar a qué categoría pertenece cada una de las mujeres?

– Si se pudiera determinar, indica a qué grupo pertenecerá cada una.

– Si no se pudiera, explica las razones.

Solución: Aquí.

Solución a números consecutivos

Problema 3 del nivel B de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Consideramos 13 números enteros consecutivos y las afirmaciones siguientes:

a) El número central es la media de los que ocupan las posiciones 6ª y 8ª.

b) La suma de todos los números es divisible por 13.

c) Al menos cuatro de ellos son divisibles por 3.

d) Siete son pares.

e) La mediana de esta serie de números es la media de los dos extremos.

¿Cuáles de estas afirmaciones no son siempre verdaderas?

Solución:
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