Problema 9 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A partir del dodecágono regular, construimos una figura inscribiendo un cuadrado, y usando los lados como ejes de simetría para los tres lados consecutivos que quedan fuera del cuadrado, de forma que construimos el polígono no convexo de 12 lados que vemos en la imagen.
Siendo que el lado del dodecágono mide 1 cm, calcula el área en cm² del área de la estrella.
Solución:
En los problemas en los que hay tanta simetría se puede trabajar por ángulos y buscar triángulos conocidos en su interior.
Es fácil fijarse en que el triángulo que se forma entre los dos segmentos simétricos que hay a cada lado de cada lado del cuadrado se forma un triángulo isósceles que parece equilátero. Tal vez nos pueda ayudar a calcular áreas.
Puesto que el dodecaedro tiene 12 lados idénticos y se puede inscribir en una circunferencia, desde el centro se forman triángulos isósceles con un ángulo diferente de 30º = 360º/12. Eso quiere decir que el ángulo entre dos lados consecutivos de un dodecadro es exactamente 2*(180 – 30)/2 = 150º.
Puesto que el ángulo del cuadrado es de 90º, se forma a los dos lados del cuadrado ángulos de 30º, por lo que, en efecto, vemos triángulos equiláteros y cuadrados en las simetrías con las que construimos la estrella.
Puesto que los lados del dodecágono miden 1 cm, podemos calcular el lado del cuadrado usando el teorema de Pitágoras o trigonometría, ya que la altura del triángulo de lado 1 mide raíz(3)/2.
Y por tanto, el lado del cuadrado mide 1 + raíz(3).
Y el área del cuadrado por tanto sería (1 + raíz(3))² = 1 + 2raíz(3) + 3 = 4 + 2raíz(3).
Ahora bien, cada una de las simetrías le está quitando al cuadrado grande medio cuadrado de lado uno y dos medios triángulos equiláteros, es decir, un área total de ½ + raíz(3)/4.
Puesto que le quitamos cuatro áreas de este tipo, tenemos (4 + 2raíz(3)) – (2 + raíz(3)) = 2 + raíz(3) centímetros cuadrados, aproximadamente 3,73 cm².