Problema 11 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tenemos tres números relacionados, a, x e y, de forma que x = a + 1/a, y también y = a³ + 1/a³.
¿Puedes escribir una fórmula que permita expresar y en función de x?
Problema 10 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tres cuadrados que tienen las bases alineadas tienen la propiedad de que su vértice superior izquierdo está alineado.
Suponiendo que tenemos el valor a del lado del cuadrado menor, y el valor b del lado del cuadrado mediano, determina el valor del lado x del lado del cuadrado mayor.
Solución:
Continue reading Solución a tres vértices alineados
Problema 10 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tres cuadrados que tienen las bases alineadas tienen la propiedad de que su vértice superior izquierdo está alineado.
Suponiendo que tenemos el valor a del lado del cuadrado menor, y el valor b del lado del cuadrado mediano, determina el valor del lado x del lado del cuadrado mayor.
Solución: Aquí.
Problema 2 de la Olimpiada Matemática Canadiense de 2008 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones f racionales de variable racional (es decir, del conjunto de los números racionales en sí mismo) que cumplen, para cualquier par de números racionales x e y, la relación f(2f(x) + f(y)) = 2x + y.
Solución:
Continue reading Solución a función racional
Problema 2 de la Olimpiada Matemática Canadiense de 2008 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones f racionales de variable racional (es decir, del conjunto de los números racionales en sí mismo) que cumplen, para cualquier par de números racionales x e y, la relación f(2f(x) + f(y)) = 2x + y.
Solución: Aquí.
Problema 9 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Un centro escolar organizó un viaje en autobús que tiene un coste total fijo para el centro independientemente del número de alumnos que vayan. El centro divide el coste total entre el número de personas que se apunten.
Se inscribieron más de veinte y, cuando calcularon el coste individual que supondría, el resultado fue una cantidad entera de euros.
Cuando anunciaron el coste, cuatro de los que se habían apuntado se borraron. Volvieron a calcular el coste individual, que curiosamente fue otra vez un número entero de euros, y se comenzó a recaudar el dinero. Todo fue bien hasta llegar a los dos últimos, que dijeron que no podrían ir a la excursión.
El día del viaje se volvió a calcular el coste del viaje por participante, que volvió a ser un número entero, y se tuvieron que recoger 3€ más a cada uno de los alumnos que finalmente fueron y que habían pagado ya la parte que les correspondía anteriormente.
¿Cuánto ha costado finalmente el viaje a cada participante?
Solución:
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Problema 9 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Un centro escolar organizó un viaje en autobús que tiene un coste total fijo para el centro independientemente del número de alumnos que vayan. El centro divide el coste total entre el número de personas que se apunten.
Se inscribieron más de veinte y, cuando calcularon el coste individual que supondría, el resultado fue una cantidad entera de euros.
Cuando anunciaron el coste, cuatro de los que se habían apuntado se borraron. Volvieron a calcular el coste individual, que curiosamente fue otra vez un número entero de euros, y se comenzó a recaudar el dinero. Todo fue bien hasta llegar a los dos últimos, que dijeron que no podrían ir a la excursión.
El día del viaje se volvió a calcular el coste del viaje por participante, que volvió a ser un número entero, y se tuvieron que recoger 3€ más a cada uno de los alumnos que finalmente fueron y que habían pagado ya la parte que les correspondía anteriormente.
¿Cuánto ha costado finalmente el viaje a cada participante?
Solución: Aquí.
Problema 5 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
¿Cuántos números de cuatro cifras (es decir, desde el 1000 al 9999) tienen la propiedad de que si les restamos el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, el resultado es 999?
Solución:
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Problema 5 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
¿Cuántos números de cuatro cifras (es decir, desde el 1000 al 9999) tienen la propiedad de que si les restamos el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, el resultado es 999?
Solución: Aquí.
Problema 8 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En la siguiente figura se aprecia una estructura de aspecto triangular hecha con cuadrados iguales, todos de lado 1 cm.
En la fila superior hay 1 cuadrado.
Bajo esa fila hay otra con dos cuadrados.
La tercera fila empezando desde arriba tiene tres cuadrados.
Y así sucesivamente, hasta la fila n, en la que hay n cuadrados.
La imagen corresponde a un n = 4.
Cada cuadrado recae sobre dos de los cuadrados de la fila previa, no necesariamente centrado, pero sin dejar huecos con los cuadrados vecinos.
Hay una línea negra dibujada que marca el polígono que rodea a todos estos cuadrados.
Indicamos con S la superficie de este polígono en cm² para un n determinado, y P al perímetro en cm del mismo polígono.
Se puede escribir S en función de P como un polinomio d segundo grado, independientemente del n. Esta relación se da para cualquier valor de n.
Encuentra los valores a, b, c que cumplen S = aP² + bP + c.
Solución:
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