Circunferencia fija

Problema 1 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018)
Se dirige a una edad de: 17 años

Sea ABC un triángulo de forma que CA = CB y el ángulo ACB mida 120º, y sea M el punto medio de AB.

Sea P un punto variable de la circunferencia que pasa por A, B y C.

Sea Q el punto en el segmento CP tal que QP = 2QC.

Se sabe que la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta AB interseca a la recta MQ en un único punto N.

Demuestre que existe una circunferencia fija tal que N se encuentra en esa circunferencia para todas las posibles posiciones de P.

Solución a los mayores de los 16

Problema 2 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 14 años

En un tablero 4×4 están escritos los números del 1 al 16, uno en cada casilla.

Andrés y Pablo eligen cuatro números cada uno.

Andrés elige el mayor de cada fila, y Pablo el mayor de cada columna.

Un mismo número puede ser elegido por ambos.

Luego, se eliminan del tablero todos los números elegidos.

¿Cuál es el mayor valor que puede tener la suma de todos los números que quedan en el tablero?
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Los mayores de los 16

Problema 2 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 14 años

En un tablero 4×4 están escritos los números del 1 al 16, uno en cada casilla.

Andrés y Pablo eligen cuatro números cada uno.

Andrés elige el mayor de cada fila, y Pablo el mayor de cada columna.

Un mismo número puede ser elegido por ambos.

Luego, se eliminan del tablero todos los números elegidos.

¿Cuál es el mayor valor que puede tener la suma de todos los números que quedan en el tablero?

Solución: Aquí.

Solución a dos cuadrados perfectos

Problema 1 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 14 años

Se tiene un número de 4 dígitos que es un cuadrado perfecto.

Se construye otro número sumándole 1 al dígito de las unidades, restándole uno al de las decenas, sumándole uno al de las centenas, y restándole uno al dígito de las unidades de millar.

Si el número que se obtiene también es un cuadrado perfecto, encuentra el número original. ¿Hay una única solución?

Solución:
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Dos cuadrados perfectos

Problema 1 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 14 años

Se tiene un número de 4 dígitos que es un cuadrado perfecto.

Se construye otro número sumándole 1 al dígito de las unidades, restándole uno al de las decenas, sumándole uno al de las centenas, y restándole uno al dígito de las unidades de millar.

Si el número que se obtiene también es un cuadrado perfecto, encuentra el número original. ¿Hay una única solución?

Solución: Aquí.

Solución a una lista que no termina en cero

Problema 1 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Juan hace una lista de 2018 números.

El primero es el 1. Luego, cada número se obtiene de sumarle al anterior alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.

Sabiendo que ninguno de los números de la lista termina en cero, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista?

Solución:
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Una lista que no termina en cero

Problema 1 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Juan hace una lista de 2018 números.

El primero es el 1. Luego, cada número se obtiene de sumarle al anterior alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.

Sabiendo que ninguno de los números de la lista termina en cero, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista?

Solución: Aquí.

Solución a juego con raíz de 5

Problema 4 de la Olimpiada Internacional (2018)
Se dirige a una edad de: 17-19 años

Un lugar es un punto (x, y) en el plano tal que x e y son ambos enteros positivos menores o iguales que 20.

Al comienzo, cada uno de los 400 lugares está vacío.

Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando por Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vacío tal que su distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por una piedra roja es distinto de la raíz de 5.

En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vacío (un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado).

Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra.

Halla el mayor k tal que Ana pueda asegurarse de colocar al menos K piedras rojas, sin importar cómo Beto coloque sus piedras azules.

Solución:
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