Girando nueve veces

Problema 1 de la Marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Con nueve segmentos se ha construido una figura como la que se ve en la imagen.

Todos los segmentos forman en la unión el mismo ángulo.

El sexto segmento corta al primero, y los tres siguientes están dentro, hasta que vuelven a unirse al primero con el mismo ángulo.

¿Cuál es la medida de estos nueve ángulos iguales?

Solución al menor entero

Problema 0 de la Marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

¿Cuál es el número entero positivo más pequeño que se puede escribir (en el formato habitual) sólo con cifras 1 y 0, pero que es múltiplo de 225?

Y añado yo ¿habría algún número más pequeño que fuese múltiplo de 225 y se escriba usando sólo dos tipos de cifra?
Solución:
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El menor entero

Problema 0 de la Marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

¿Cuál es el número entero positivo más pequeño que se puede escribir (en el formato habitual) sólo con cifras 1 y 0, pero que es múltiplo de 225?

Y añado yo ¿habría algún número más pequeño que fuese múltiplo de 225 y se escriba usando sólo dos tipos de cifra?
Solución: Aquí.

Solución a juego de piedras

Problema 7 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Bernardo juegan al siguiente juego.

Se empieza con una bolsa que contienen n >= 1 piedras.

En turnos sucesivos, y empezando por Ana, cada jugador puede hacer los siguientes movimientos:

Si el número de piedras de la bolsa es par, el jugador puede coger una sola piedra o la mitad de las piedras.

Si el número de piedras de la bolsa es impar, tiene que coger una única piedra.

El objetivo del juego es coger la última piedra.

Determinar para qué valores de n tiene Ana una estrategia ganadora.

Solución:
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Juego de piedras

Problema 7 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Bernardo juegan al siguiente juego.

Se empieza con una bolsa que contienen n >= 1 piedras.

En turnos sucesivos, y empezando por Ana, cada jugador puede hacer los siguientes movimientos:

Si el número de piedras de la bolsa es par, el jugador puede coger una sola piedra o la mitad de las piedras.

Si el número de piedras de la bolsa es impar, tiene que coger una única piedra.

El objetivo del juego es coger la última piedra.

Determinar para qué valores de n tiene Ana una estrategia ganadora.

Solución: Aquí.

Solución a cuadrícula láser

Problema 6 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n un entero positivo. En una cuadrícula de tamaño n × n, algunas casillas tienen un espejo de doble cara a lo largo de una de sus diagonales.

En el exterior de cada casilla de los lados izquierdo y derecho de la cuadrícula se encuentra un puntero láser, que apunta horizontalmente hacia la cuadrícula.

Los láseres se numeran de 1 a n en cada lado, en ambos casos de arriba hacia abajo.

Un láser es rojo cuando sale de la cuadrícula por el borde superior y es verde si sale de la cuadrícula por el borde inferior.

Si cada láser sale o bien por el borde inferior o por el superior, demostrar que la suma de los números con los que se numera a los láseres rojos es menor o igual que la suma de los números con los que se numera a los láseres verdes.

Solución:
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Cuadrícula láser

Problema 6 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n un entero positivo. En una cuadrícula de tamaño n × n, algunas casillas tienen un espejo de doble cara a lo largo de una de sus diagonales.

En el exterior de cada casilla de los lados izquierdo y derecho de la cuadrícula se encuentra un puntero láser, que apunta horizontalmente hacia la cuadrícula.

Los láseres se numeran de 1 a n en cada lado, en ambos casos de arriba hacia abajo.

Un láser es rojo cuando sale de la cuadrícula por el borde superior y es verde si sale de la cuadrícula por el borde inferior.

Si cada láser sale o bien por el borde inferior o por el superior, demostrar que la suma de los números con los que se numera a los láseres rojos es menor o igual que la suma de los números con los que se numera a los láseres verdes.

Solución: Aquí.

Solución a perpendiculares

Problema 5 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo con AB < AC y sea I su incentro. El incírculo es tangente al lado BC en el punto D.

Sea E el único punto que satisface que D es el punto medio del segmento BE.

La línea perpendicular a BC que pasa por E corta a CI en el punto P.

Demostrar que BP es perpendicular a AD.

Solución:
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Perpendiculares

Problema 5 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo con AB < AC y sea I su incentro. El incírculo es tangente al lado BC en el punto D.

Sea E el único punto que satisface que D es el punto medio del segmento BE.

La línea perpendicular a BC que pasa por E corta a CI en el punto P.

Demostrar que BP es perpendicular a AD.

Solución: Aquí.

Solución a polinomio positivo

Problema 4 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos el siguiente polinomio para los valores reales a, b y c:

p(x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a).

Demuestra que p(x) >= 0 para todo x real si y solamente si a = b = c.

Solución:
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