Rectángulo dividido
Problema 11 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
El rectángulo ABCD de la figura está dividido en 6 rectángulos iguales por 5 segmentos paralelos al lado BC.
El punto E del segmento BC tiene la propiedad de que el segmento AE divide al último de los rectángulos pequeños, el que contiene al segmento BC, en dos partes exactamente iguales.
Si suponemos que el triángulo que forma el segmento AE en el primer rectángulo pequeño, el que contiene al segmento AD, tiene un área de 1 cm², calcula el área del rectángulo ABCD.
Solución a “Bolsas con muchas canicas”
Problema 10 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tenemos 10 bolsas, todas ellas con la misma cantidad inicial de canicas.
De la primera bolsa sacamos una determinada cantidad de canicas, de la segunda, el doble que de la primera, de la tercera, el doble que de la segunda, y así sucesivamente.
Da la casualidad que, al sacar las canicas de la última bolsa, quedan dentro la misma cantidad que hemos sacado de la primera.
El número total de bolas de canicas que quedan en las bolsas, después de estas extracciones, es de 12321.
Se pide calcular cuántas canicas habían inicialmente en cada una de las bolsas.
Solución:
(more…)Bolsas con muchas canicas
Problema 10 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tenemos 10 bolsas, todas ellas con la misma cantidad inicial de canicas.
De la primera bolsa sacamos una determinada cantidad de canicas, de la segunda, el doble que de la primera, de la tercera, el doble que de la segunda, y así sucesivamente.
Da la casualidad que, al sacar las canicas de la última bolsa, quedan dentro la misma cantidad que hemos sacado de la primera.
El número total de bolas de canicas que quedan en las bolsas, después de estas extracciones, es de 12321.
Se pide calcular cuántas canicas habían inicialmente en cada una de las bolsas.
Solución: Aquí.
Solución a “La estrella del dodecágono”
Problema 9 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A partir del dodecágono regular, construimos una figura inscribiendo un cuadrado, y usando los lados como ejes de simetría para los tres lados consecutivos que quedan fuera del cuadrado, de forma que construimos el polígono no convexo de 12 lados que vemos en la imagen.
Siendo que el lado del dodecágono mide 1 cm, calcula el área en cm² del área de la estrella.
Solución:
(more…)La estrella del dodecágono
Problema 9 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A partir del dodecágono regular, construimos una figura inscribiendo un cuadrado, y usando los lados como ejes de simetría para los tres lados consecutivos que quedan fuera del cuadrado, de forma que construimos el polígono no convexo de 12 lados que vemos en la imagen.
Siendo que el lado del dodecágono mide 1 cm, calcula el área en cm² del área de la estrella.
Solución: Aquí.
Solución a “Capicúas de 5 cifras”
Problema 8 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Consideramos todos los números naturales de 5 cifras ordenados de manera creciente, y llamamos a₁ = 10000, a₂ = 10001, …
Si am es un número capicúa de la sucesión (la cifra de las decenas coincide con las unidades de millar, y la de las unidades, con la de las decenas de millar), llamamos Dm a la diferencia entre n y m, donde n es el valor más próximo por encima de m de forma que an también es capicúa.
a) ¿Cuántos valores diferentes puede tener Dm para los posibles valores de m?
b) ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tener Dm?
c) ¿Cuál es el valor mayor que puede tener Dm?
Solución:
(more…)Capicúas de 5 cifras
Problema 8 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Consideramos todos los números naturales de 5 cifras ordenados de manera creciente, y llamamos a₁ = 10000, a₂ = 10001, …
Si am es un número capicúa de la sucesión (la cifra de las decenas coincide con las unidades de millar, y la de las unidades, con la de las decenas de millar), llamamos Dm a la diferencia entre n y m, donde n es el valor más próximo por encima de m de forma que an también es capicúa.
a) ¿Cuántos valores diferentes puede tener Dm para los posibles valores de m?
b) ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tener Dm?
c) ¿Cuál es el valor mayor que puede tener Dm?
Solución: Aquí.
Solución a “Números bicífridos”
Problema 7 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En este problema, llamaremos números bicífridos a aquellos números naturales que tienen la propiedad de que en su expresión en base 10 aparecen dos cifras diferentes, y no más de dos cifras diferentes.
Por ejemplo, 47747, 221, o 56565556 son números bicífridos, respectivamente, de cinco, tres y ocho cifras, mientras que 666 y 45454456 no lo son.
a) Razona qué números bicífridos de cuatro cifras pueden ser múltiplos de 11, y haz el recuento de cuántos diferentes hay.
b) Razona qué número bicífridos de cinco cifras pueden ser múltiplos de 11, y haz el recuento de cuántos diferentes hay.
Solución:
(more…)Números bicífridos
Problema 7 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En este problema, llamaremos números bicífridos a aquellos números naturales que tienen la propiedad de que en su expresión en base 10 aparecen dos cifras diferentes, y no más de dos cifras diferentes.
Por ejemplo, 47747, 221, o 56565556 son números bicífridos, respectivamente, de cinco, tres y ocho cifras, mientras que 666 y 45454456 no lo son.
a) Razona qué números bicífridos de cuatro cifras pueden ser múltiplos de 11, y haz el recuento de cuántos diferentes hay.
b) Razona qué número bicífridos de cinco cifras pueden ser múltiplos de 11, y haz el recuento de cuántos diferentes hay.
Solución: Aquí.
Solución a “La elección de delegados”
Problema 6 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Los estudiantes de un grupo de ESO votan para elegir delegados.
Se presentan tres estudiantes, Ariadna, Berta y Carla, y la tutora decide el siguiente sistema de votación:
Cada persona que participa en la votación ha de hacer constar su preferencia entre las tres candidatas ordenándolas primera, segunda o tercera.
La primera recibe 1 punto, la segunda 2 puntos y la tercera 4 puntos.
La ganadora será la que reciba la puntuación más baja, naturalmente.
Después de hacer el recuento de la votación, en la que se comprobó que todas las papeletas cumplían la normativa, el resultado fue:
Ariadna fue la estudiante con menor puntuación, 44 puntos, y eso que sólo 4 estudiantes la pusieron como primera opción.
Berta fue la segunda clasificada con 45 puntos. Fue la que más veces de las tres apareció como primera opción.
Carla, que quedó en tercer lugar con 51 puntos, fue la que más gente puso como tercera opción.
Determina en cuántas papeletas quedó Berta en primera opción, en cuántas en segunda opción y en cuántas en la tercera posición.
Solución:
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