Comparando conjuntos

Problema 1 del sábado de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Considera el conjunto de números enteros positivos n cumpliendo 1 ≤ n ≤ 1000000.

En este conjunto, indica si es mayor la cantidad de números que pueden expresarse de la forma a³ + mb², con a, b números naturales y m pertenece al conjunto {0, 2, 4, 6, 8} o la cantidad de números que no pueden expresarse de esa manera.

Solución a un primo en un triángulo rectángulo

Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea p ≥ 3 un número primo, y consideremos el triángulo rectángulo de cateto mayor p² – 1 y cateto menor 2p.

Inscribimos en el triángulo un semicírculo cuyo diámetro se apoya en el cateto mayor y es tangente a la hipotenusa y al cateto menor del triángulo.

Encuentra los valores de p para los cuales el radio del semicírculo es un número entero.

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Un primo en un triángulo rectángulo

Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea p ≥ 3 un número primo, y consideremos el triángulo rectángulo de cateto mayor p² – 1 y cateto menor 2p.

Inscribimos en el triángulo un semicírculo cuyo diámetro se apoya en el cateto mayor y es tangente a la hipotenusa y al cateto menor del triángulo.

Encuentra los valores de p para los cuales el radio del semicírculo es un número entero.

Solución: Aquí.

Solución a triángulo espejo

Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El trapecio isósceles ABCD tiene lados paralelos AB y CD. Sabemos que AB = 6, AD = 5 y el ángulo DAB = 60º. Se lanza un rayo de luz desde A que rebota en CB en el punto E e interseca en AD en el punto F. Si AF = 3, calcula el área del triángulo AFE.
Solución:
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Triángulo espejo

Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El trapecio isósceles ABCD tiene lados paralelos AB y CD. Sabemos que AB = 6, AD = 5 y el ángulo DAB = 60º. Se lanza un rayo de luz desde A que rebota en CB en el punto E e interseca en AD en el punto F. Si AF = 3, calcula el área del triángulo AFE.
Solución: Aquí.

Solución a sucesión e igualdad entre productos

Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Demuestra que para todo n ≥ 2 podemos encontrar n números reales x1, x2, …, xn ≠ 1 de manera que los productos x1·x2·…·xn y (1/(1 – x1))·(1/(1 – x2))·…·(1/(1 – xn)) son iguales.

Solución:
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