Solución a sucesión periódica y recursiva

Problema 2 de la Olimpiada Internacional (2018)
Se dirige a una edad de: 17-19 años

Hallar todos los enteros n mayores o iguales a 3 para los que existen números reales a, a, …, an + 2 tales que ai·ai + 1 + 1 = ai + 2 para i = 1, 2, …, n, y an + 1 = a, y an + 2 = a.

Solución:
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Solución a tableros y dominós

Problema 4 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018)
Se dirige a una edad de: 17 años

Un dominó es una ficha de 1 x 2 o de 2 x 1 cuadrados unitarios.

Sean n un entero mayor o igual que 3. Se ponen dominós en un tablero de n x n casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse (en otras palabras, sin traslaparse).

El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna.

Una configuración de dominós se llama balanceada si existe algún entero k mayor o igual que 1 tal que cada fila y cada columna tiene valor k.

Demuestre que existe una configuración balanceada para cada n mayor o igual que 3, y encuentre el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.

Solución:
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Tableros y dominós

Problema 4 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018)
Se dirige a una edad de: 17 años

Un dominó es una ficha de 1 x 2 o de 2 x 1 cuadrados unitarios.

Sean n un entero mayor o igual que 3. Se ponen dominós en un tablero de n x n casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse (en otras palabras, sin traslaparse).

El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna.

Una configuración de dominós se llama balanceada si existe algún entero k mayor o igual que 1 tal que cada fila y cada columna tiene valor k.

Demuestre que existe una configuración balanceada para cada n mayor o igual que 3, y encuentre el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.

Solución: Aquí.

Solución a los polinomios del 2017 y del 2018

Problema 7 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

a) Para una función polinómica de segundo grado p(x) = x² + ax + b con coeficientes a y b enteros, existen dos números diferentes m y n que cumplen p(m) = p(n) = 2017. Demuestra que no existe ningún número entero z que cumpla p(z) = 2018.

b) Dar un ejemplo de una función polinómica q(x) con coeficientes enteros para la cual existan tres números enteros n, m y z que cumplan q(m) = q(n) = 2017 y q(z) = 2018.

c) Para una función polinómica de grado n f(x) = xn + … con coeficientes enteros, existen tres números enteros diferentes m, q y r, que cumplen f(m) = f(q) = f(r) = 2017. Demuestra que no puede haber ningún número entero z que cumpla f(z) = 2018.

Solución: Continue reading Solución a los polinomios del 2017 y del 2018

La música de las figuras de Lissajous

La música es el placer que experimenta la mente humana al
contar sin darse cuenta de que está contando.
Gottfried Leibniz

Las matemáticas son la música de la razón.
James Joseph Sylvester

El sonido es el fenómeno físico que estimula el sentido del oído y se produce debido a la vibración de un cuerpo, ya sea el mecanismo de un piano, un trombón, o nuestras propias manos o cuerdas vocales:

Las vibraciones llegan a nuestros tímpanos, los cuales las transmiten hacia nuestro cerebro a través de un conjunto de pequeños huesos en las ramificaciones del nervio auditivo. Finalmente, nuestro cerebro interpreta el mensaje recibido en términos matemáticos, tal y como veremos.

La capacidad de crear arte, así como lo entendemos, es una característica propia del ser humano. El arte de los sonidos es la música, y el diapasón es quizás el “instrumento” musical más sencillo. Está formado por un pequeño mango y dos puntas conformando una estructura de U. Cuando se golpea, las puntas comienzan a vibrar. El movimiento de las puntas hacia un lado y hacia otro agita las moléculas de aire circundantes y, voilà, se hizo el sonido.

Matemáticamente, el sonido puro del diapasón puede representarse mediante la función seno, cuya onda completa (es decir, durante 360º grados), se produce en un tiempo determinado, y define lo que se conoce como un movimiento armónico simple.

El seno es una función trigonométrica de vital importancia en muchas áreas, por ejemplo, esta que nos ocupa. Como ya sabrá el lector, esta función puede obtenerse a partir de la medida de ciertas longitudes, dependiendo del ángulo en la circunferencia de radio unidad:

Tranquilos, podríamos hablar “eternamente” sobre la función seno, pero no entraremos en muchos detalles. Notemos, en primer lugar, que la función seno es periódica de periodo , es decir, f(x)=f(x+2π), y, por tanto, dar la representación gráfica en el periodo [0,2π] es suficiente para conocer su pinta en toda la recta real. Los movimientos armónicos simples (como el movimiento oscilatorio de un péndulo o el sonido) pueden escribirse en términos de la función seno como sigue:

f(x)=A sin(ωx+t).

Los tres parámetros que aparecen en esta función son A, que se conoce como la amplitud; ω, relacionada con la frecuencia (tal y como veremos más adelante); y t, denominado fase. Observemos cómo cambia la gráfica de f al variar cada uno de los parámetros.

Si variamos A, la función presenta oscilaciones más grandes:

Si variamos el parámetro ω, se obtienen más o menos repeticiones:

Y, por último, si variamos la fase t, podemos decir que nos adelantamos o retrasamos en la emisión del sonido y la onda parece moverse:

Invitamos al lector a jugar con los tres parámetros a la vez en la siguiente hoja de trabajo de Geogebra Observe en particular cómo la variación de cada uno de los parámetros no afecta a las demás características. Por ejemplo, variar el parámetro ω no afecta a la longitud de las ondas; ni tampoco la el número de oscilaciones, en relación con ω, se ve afectado por la modificación de A ó t:

https://ggbm.at/jeqgn8n5

Pero volvamos a lo que nos ocupa. El parámetro ω está relacionado con el tono de un sonido. En particular, cuantas más vibraciones por segundo, el sonido es más agudo y cuantas menos vibraciones por segundo, el sonido es más grave. El número de ondas completas por segundo, que se conoce como frecuencia del sonido, se mide en hercios. Esta característica del sonido tiene que ver entonces con el parámetro ω, como ya hemos comentado anteriormente.  La frecuencia determina el tono (o altura) de un sonido. Por suerte o por desgracia, nuestro oído sólo puede percibir sonidos con frecuencia comprendida entre 16 Hz y 20 000 Hz.

Los diapasones son utilizados, sobre todo, para la afinación del sonido que emiten ciertos instrumentos, es decir, el proceso de ajuste del tono de un sonido hasta que coincida con una nota de referencia, momento en el que se considera que dicho sonido “está afinado”. El diapasón estándar es el denominado 440 que emite un sonido con una frecuencia de exactamente 440 Hz.

Casi todos hemos “tocado” las cuerdas de una guitarra e incluso, los más avanzados, habrán tocado la guitarra con cierto sentido. Sin embargo, todos sabemos que la afinación de una guitarra (antes-de) es un proceso innegociable. Actualmente, lo que hacemos es utilizar afinadores electrónicos, o incluso aplicaciones del móvil, para apretar las clavijas del extremo hasta que alcanzan la frecuencia deseada. Fácil, sencillo.

¿Pero qué pasaba cuando no existían dichas herramientas?… Los más profesionales eran (y son) capaces de afinar la guitarra de oído, pero, en el pasado, el común de los mortales utilizaba un diapasón (una app infalible). Sí, esos extraños “instrumentos” musicales que emiten un sonido puro muy concreto, dependiendo exclusivamente de su forma y del material utilizado en su construcción.

Jules Antoine Lissajous, físico francés de mediados del siglo XIX, encontró un método para conocer exactamente qué nota produce un diapasón: visualizar el sonido. Lissajous buscó la manera de traducir en imágenes los movimientos vibratorios del diapasón. Colocó un pequeño espejo sobre el diapasón, lo hizo sonar y proyectó sobre él un rayo de luz. La vibración del diapasón se transmitía al espejo, de ahí a una pantalla, y se percató de que el rayo de luz dibujaba una “interesante” curva ondulatoria. Dicha curva ondulatoria no era otra que una curva sinusoidal, un movimiento armónico simple, como se ve en la imagen.

El bueno de mi tocayo Jules fue aún un poco más allá. En el fondo, lo importante no era visualizar la nota de un solo diapasón, sino comprobar si dos diapasones distintos producían el mismo sonido. Esto era relevante, por ejemplo, para la industria “diapasonera”, puesto que debían estar muy seguros de que los diapasones construidos producían el mismo sonido.

Así que Lissajous echó más leña al fuego (un nuevo diapasón). Más concretamente, obligó a que el rayo de luz incidiese sucesivamente sobre dos espejos colocados sobre dos diapasones y observó los resultados. Lo importante, y he aquí la música de las figuras de Lissajous, apareció cuando colocó los espejos en perpendicular. Proyectó un rayo de luz y dispuso los diapasones perpendicularmente de forma que dicho rayo viajara de uno a otro y finalmente incidiera sobre una pantalla.  De la misma forma, la vibración de cada uno de los diapasones se transmitía a los pequeños espejos y el rayo acababa dibujando la relación entre las dos notas emitidas. Si ambos diapasones emiten la misma nota, observaremos una elipse, un segmento o una circunferencia, dependiendo del desfase entre ellas. Las demás relaciones son más complejas y, entre ellas, observamos las conocidas figuras de Lissajous. Estas figuras determinan, por tanto, las relaciones entre los sonidos emitidos por dos diapasones distintos.

En el siguiente vídeo podemos ver una reproducción del experimento de Lissajous:

Y he aquí un vídeo en español:

En efecto, puede ser una experiencia muy enriquecedora para realizar en una clase de Matemáticas, de Física o de Tecnología. Invitamos al lector a jugar con la siguiente hoja de trabajo de Geogebra donde se pueden variar los parámetros de los dos movimientos ondulatorios correspondientes a dos sonidos diferentes:

https://ggbm.at/zx4w5ymt

Jules Antoine Lissajous no fue el primero en detectar estas curvas. Esta familia de curvas fue investigada anteriormente por Nathaniel Bowditch en 1815. Lissajous las estudió con mayor profundidad en un trabajo publicado en 1857 del que aún podemos disfrutar:

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k34792z/f146.image

Sin embargo, la música de las figuras de Lissajous sigue sonando. El 11 de septiembre, bajo el texto “Las curvas de #Lissajous son las trayectorias de puntos cuyas coordenadas siguen movimientos sinusoidales. Los diseños resultantes son realmente preciosos.”, publiqué en mi cuenta de Twitter (@juliomulero) la siguiente animación realizada con Geogebra:

Déjenme que comente muy sucintamente las características matemáticas de esta animación y su relación con las figuras de Lissajous. El gif consta de una matriz de gráficos de tamaño 5×5 que van generándose a partir del movimiento de dos puntos en las circunferencias correspondientes en la parte superior y en la parte  izquierda de la matriz, respectivamente.

Dichos puntos dan un número diferente de vueltas; así, el punto sobre la circunferencia amarilla da una vuelta completa, el punto sobre la circunferencia verde da dos vueltas; el de la circunferencia azul, tres vueltas; el de la magenta, cuatro vueltas y, finalmente, el punto sobre la circunferencia roja da cinco vueltas completas a la circunferencia. Esto corresponde a diferentes frecuencias de los movimientos armónicos simples que vienen descritos por dos diapasones distintos.

Como es sabido, las coordenadas paramétricas de una circunferencia pueden ser escritas como (sin(ωt),cos(ωt)) y, de esta forma, las coordenadas de estos puntos pueden escribirse (cos(ωt),sin(ωt)) donde ω es el número de vueltas. Los puntos que generan los diferentes diseños de la matriz heredan la coordenada X del punto de la circunferencia superior y la coordenada Y de la circunferencia de la parte izquierda. Por tanto, las coordenadas paramétricas de estos diseños son (sin(ωt),cos(ωt)), pero sabemos que cos(t)=sin(t+90º). De esta forma estos puntos vienen dados por coordenadas (sin(ωt),sin(ωt+90º)) y no dejan de ser las figuras de Lissajous para diferentes valores de la frecuencia y la fase de dos movimientos armónicos simples.

La acogida fue brutal, bestial, inesperada y abrumadora, provocando miles de reacciones durante las horas siguientes. Días después, Matt Parker, un youtuber matemático con más de 400 000 suscriptores, publicó un vídeo que comenzaba con esta animación proyectada en la pantalla. Se puede ver aquí:

A continuación, el tuit fue recogido en un momento de Twitter titulado “Los GIFs que la rompieron esta semana”. Llegaron miles de Me Gusta y Retuits, y algunos de ellos fructificaron como nuevos seguidores en Twitter. Tanto es así, que en este momento, el tuit tiene más de 3 500 retuits, más de 8 500 Me gusta’s, y más de 520 000 reacciones.

En fin. Esta es la historia de unas curvas preciosas. Trigonometría en estado puro. Música para nuestros ojos en estado puro. Las curvas de Lissajous siguen sonando, y siguen sonando muy bien. Las tenemos en nuestros oídos, en nuestra voz. Querido lector: he aquí la música de las figuras de Lissajous. He aquí la belleza de las matemáticas.

Este post ha sido escrito por Julio Mulero y forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima novena edición, también denominada 9.4, está organizado por @juanfisicahr a través de su blog Esto no entra en el examen.

 

Los Polinomios del 2017 y del 2018

Problema 7 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

a) Para una función polinómica de segundo grado p(x) = x² + ax + b con coeficientes a y b enteros, existen dos números diferentes m y n que cumplen p(m) = p(n) = 2017. Demuestra que no existe ningún número entero z que cumpla p(z) = 2018.

b) Dar un ejemplo de una función polinómica q(x) con coeficientes enteros para la cual existan tres números enteros n, m y z que cumplan q(m) = q(n) = 2017 y q(z) = 2018.

c) Para una función polinómica de grado n f(x) = xn + … con coeficientes enteros, existen tres números enteros diferentes m, q y r, que cumplen f(m) = f(q) = f(r) = 2017. Demuestra que no puede haber ningún número entero z que cumpla f(z) = 2018.

Solución: Aquí.

Solución a circunferencia fija

Problema 1 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018)
Se dirige a una edad de: 17 años

Sea ABC un triángulo de forma que CA = CB y el ángulo ACB mida 120º, y sea M el punto medio de AB.

Sea P un punto variable de la circunferencia que pasa por A, B y C.

Sea Q el punto en el segmento CP tal que QP = 2QC.

Se sabe que la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta AB interseca a la recta MQ en un único punto N.

Demuestre que existe una circunferencia fija tal que N se encuentra en esa circunferencia para todas las posibles posiciones de P.

En esta ocasión se trata de un problema de construcción geométrica no demasiado complicado.

Lo más difícil es averiguar de qué circunferencia se trata la que contiene a N, y después todo consiste en demostrar que la distancia al centro de esa circunferencia siempre mide lo mismo.

Hay varias formas de abordar esto, pero a mí me gusta construir cuando es sencillo los problemas usando los vectores que se trabajan en bachillerato, aunque otros preferirán trabajar con propiedades geométricas. Sólo cuando se vuelve muy complejo el uso de vectores y ecuaciones busco aplicar otras reglas.

El triángulo ABC está perfectamente determinado excepto en su tamaño, así que lo voy a escalar y situar de forma que la circunferencia esté centrada en los ejes de coordenadas y (después de haber hecho un par de ensayos) me salgan la menor cantidad de fracciones posibles.


Para construir el triángulo con el ángulo de 120 grados, uso dos equiláteros unidos.

Al partir el triángulo equilátero en dos, aparecen dos triángulos rectángulos. Para que cumpla el Teorema de Pitágoras, si damos 6 unidades al lado del equilátero, uno de los catetos tendrá 3 y el otro raíz(27) = 3·raíz(3). Situando uno de los vértices del triángulo en (0, 0), las otras coordenadas serán (3, 3·raíz(3)) y las otras (6, 0).

Para que el ángulo ACB sea de 120º, las coordenadas de A serán por lo tanto (3, 3·raíz(3)), B será (3, –3·raíz(3)) y C será (6, 0). Se puede comprobar que los tres puntos están sobre la circunferencia x² + y² = 36, es decir, que la distancia al (0, 0) siempre es 6.

Si aplicamos producto escalar, se pueden calcular los vectores CA y CB, multiplicarlos escalarmente y dividir por su módulo, y obtendremos el coseno del ángulo ACB, comprobando así que es –1/2, el que corresponde a 120º.

Es evidente que el punto medio entre A (3, 3·raíz(3)) y B (3, –3·raíz(3)), es M (3, 0).

Ahora, si tomamos un punto cualquiera P de la circunferencia, supondremos que sus coordenadas son (3a, 3b) (de nuevo, tomo variables de forma que sean múltiplo de 3, para poder dividir más tarde por 3 sin que salgan fracciones, en un primer borrador salían fracciones y he tomado esta decisión para simplificar). Debe cumplirse que 9a² + 9b² = 36 para que pertenezca a la circunferencia, es decir, que a² + b² = 4. Esto nos permitirá saber más adelante dónde está N.

Ahora vamos a calcular Q (en función de P). Puesto que QP = 2QC, como CQ + QP = CP, tendremos que CP = 3CQ, es decir, que si calculamos el vector CP, que es (3a – 6, 3b), lo multiplicamos por 1/3, obteniendo (a – 2, b) (para esto quería tanto múltiplo de 3), tendremos CQ. Ahora, C + CQ nos lleva a Q, es decir (6, 0) + (a – 2, b) = Q (a + 4, b).

Ya casi llegamos, vamos a calcular N. Puesto que AB es vertical, la recta PN es horizontal, es decir, la coordenada segunda (la y) de N es la misma que la de P, es decir, 3b. Para conocer la otra, una de las cosas que podemos hacer es obtener la ecuación de la recta MQ, y sustituir para encontrar la x, es decir, la coordenada horizontal. El vector MQ será (a + 1, b), y la ecuación de la recta tendrá entonces coeficientes de x e y, respectivamente, –b y a + 1. Es decir, que uno de los extremos de la ecuación será –bx + (a + 1)y, y el otro extremo será una constante. Como debe contener al punto M (3, 0), la constante debe ser –3b, así que la ecuación queda –bx + (a + 1)y = –3b. Ahora, sustituimos y por 3b, como hemos dicho, y tendremos –bx + (a + 1)3b = –3b, de donde, dividiendo por b, –x + (a + 1)3 = –3. Despejamos ahora x, y tenemos que 3 + (a + 1)3 = x, por lo que x = 3a + 6. El punto N, por tanto, será (3a + 6, 3b).

Ahora, vamos a ver si es cierto que N está siempre sobre una circunferencia. Nos ha quedado muy sencillo, ya que P (3a, 3b) está sobre una circunferencia, y N es (3a + 6, 3b). Es decir, que N está sobre una circunferencia 6 unidades a la derecha.

Normalmente, sería más complejo, ya que habría que ver, sabiendo la ecuación que cumple P, cuál cumple N, despejando y sustituyendo. Y saldría lo mismo, una circunferencia 6 unidades más a la derecha. Observa que el centro de la circunferencia original está en el (0, 0), por lo que el centro de la circunferencia de N está en (6, 0), que era nuestro C. Ahora que sabemos esto, podríamos retomar el problema buscando probar que la distancia de N a C es la misma sea cual sea P, lo que probablemente es más sencillo (aunque lo difícil es saber cuál es la circunferencia que buscamos).

Circunferencia fija

Problema 1 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018)
Se dirige a una edad de: 17 años

Sea ABC un triángulo de forma que CA = CB y el ángulo ACB mida 120º, y sea M el punto medio de AB.

Sea P un punto variable de la circunferencia que pasa por A, B y C.

Sea Q el punto en el segmento CP tal que QP = 2QC.

Se sabe que la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta AB interseca a la recta MQ en un único punto N.

Demuestre que existe una circunferencia fija tal que N se encuentra en esa circunferencia para todas las posibles posiciones de P.