Problema 1 de análisis de primer nivel de los premios Jorge Juan de la Universidad de Alicante (2019) Se dirige a una edad de 18-20 años
Sea f una función continua del intervalo [-2019, 2019] en el conjunto de los números reales.
Demuestra que el conjunto X = {x ∈ [-2019, 2019] : f(x) = f(-x)} tiene mínimo y máximo, y que se verifica máx(X) + mín(X) = 0.
Problema 5 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 12-13 años
Desde Hogwarts, deben enviar tres cartas a tres futuros alumnos de esta escuela.
Para eso, Hagrid tiene tres lechuzas preparadas, pero cada una de ellas sólo sabe llegar a la casa de la persona que le han asignado.
Hagrid se ha hecho un lío con las cartas y no sabe si le ha dado a cada lechuza la carta adecuada.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas llegue a su destino correctamente?
Solución: Continue reading Solución a azar en Hogwarts
Problema 5 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 12-13 años
Desde Hogwarts, deben enviar tres cartas a tres futuros alumnos de esta escuela.
Para eso, Hagrid tiene tres lechuzas preparadas, pero cada una de ellas sólo sabe llegar a la casa de la persona que le han asignado.
Hagrid se ha hecho un lío con las cartas y no sabe si le ha dado a cada lechuza la carta adecuada.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas llegue a su destino correctamente?
Solución: Aquí.
Problema 1 de la prueba Putnam para estudiantes de grado (2018) Se dirige a una edad de 18-22 años
Encuentra todos los pares ordenados (a, b) de enteros positivos para los que se cumple 1/a + 1/b = 3/2018.
Solución:
Continue reading Solución a ecuación de enteros
Problema 1 de la prueba Putnam para estudiantes de grado (2018) Se dirige a una edad de 18-22 años
Encuentra todos los pares ordenados (a, b) de enteros positivos para los que se cumple 1/a + 1/b = 3/2018.
Solución: Aquí.
Problema 2 del segundo nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019) Se dirige a una edad de 14 años
Se tiene un tablero con 2020 casillas en la fila inferior y 2019 en la superior, de forma que están ubicadas las casillas de una fila entre dos de la otra, como indica la figura.
En la fila inferior se colocan los números enteros del 1 al 2020 en algún orden.
Luego, en cada casilla superior se anota la multiplicación de los dos números que tiene debajo.
¿Cómo se pueden colocar los números de la fila inferior para que la suma de los números de la fila superior sea la menor posible?
Solución:
Continue reading Solución a suma de productos
Problema 2 del segundo nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019) Se dirige a una edad de 14 años
Se tiene un tablero con 2020 casillas en la fila inferior y 2019 en la superior, de forma que están ubicadas las casillas de una fila entre dos de la otra, como indica la figura.
En la fila inferior se colocan los números enteros del 1 al 2020 en algún orden.
Luego, en cada casilla superior se anota la multiplicación de los dos números que tiene debajo.
¿Cómo se pueden colocar los números de la fila inferior para que la suma de los números de la fila superior sea la menor posible?
Solución: Aquí.
Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.
Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.
Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución:
Continue reading Solución al menor de los máximos
Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.
Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.
Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución: Aquí.
Problema 1 de la 60 Olimpiada Internacional (2019) Se dirige a una edad de: 17-19 años
Sea Z el conjunto de los números enteros.
Determinar todas las funciones f:Z → Z tales que, para todos los enteros a y b, f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).
Solución:
Continue reading Solución a función entera