Solución a conjunto infinito de primos

Problema 2 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determinar si existe un conjunto finito S formado por números primos positivos de manera que para cada entero n ≥ 2, el número 2² + 3² + … + n² sea múltiplo de algún elemento de S.

Solución:
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Solución a billar

Problema 3 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

En una caja hemos metido las 15 bolas numeradas (del 1 al 15) de un billar americano.

Si elegimos al azar una bola, ordena los tres sucesos siguientes del que tenga menor al que tenga mayor probabilidad de ocurrir:

P es el suceso de que salga par o múltiplo de 5.

Q es el suceso de que salga múltiplo de 3 o acabe en cero.

R es el suceso de que sea impar.

Solución:
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Billar

Problema 3 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

En una caja hemos metido las 15 bolas numeradas (del 1 al 15) de un billar americano.

Si elegimos al azar una bola, ordena los tres sucesos siguientes del que tenga menor al que tenga mayor probabilidad de ocurrir:

P es el suceso de que salga par o múltiplo de 5.

Q es el suceso de que salga múltiplo de 3 o acabe en cero.

R es el suceso de que sea impar.

Solución a las amigas

Problema 3 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Anna, Berta, Carla, Daniela y Esther viven en la misma urbanización.

Todas son amigas, excepto Anna y Esther que no pueden ni verse.

Hoy, Anna se ha encontrado con una de las otras cuatro; Berta, a dos de ellas; Carla, a tres, y Daniela, a cuatro.

¿Cuántas se ha encontrado Esther?

¿Se ha producido el incómodo encuentro con Anna?

Solución:
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Una incursión al bello mundo de los números complejos

No cabe duda que los números complejos juegan un importante papel en muchas áreas de las matemáticas y física teórica. Pero, ¿qué son realmente los números complejos? ¿cómo surgieron?

Comencemos por el concepto de unidad imaginaria, denotada por i, que se define a través de la relación i^2=-1. A partir de i y de los números reales, los números imaginarios aparecen como multiplicaciones de la propia unidad imaginaria por un número real… esto nos recuerda a la definición de los números enteros negativos en los que los números naturales son multiplicados por -1.

En relación a ello, para el siguiente razonamiento intuitivo tomemos por convenio que los números positivos son los que miran al norte y los negativos los que miran al sur. Mientras que únicamente en la recta real nos podemos mover hacia el norte o hacia el sur (a través del -1), de forma más general la multiplicación por la unidad imaginaria i nos proporciona otras posibilidades. En efecto, si nos situamos mirando hacia el norte, la multiplicación por i nos repercute en un giro de derechas hacia el este (por ejemplo, del número positivo 1 pasamos a la unidad imaginaria i). Una nueva multiplicación por i nos lleva ahora hacia el sur, cuya unidad es -1. De esta manera, i∙i=i^2=-1, con lo que i viene también a hacer el papel de √(-1), proporcionando una definición plausible de la unidad imaginaria. Continuando con este proceso, si multiplicásemos de nuevo por i llegaríamos a la unidad del oeste, es decir, i^3=-i, y una nueva multiplicación por i nos devolvería al norte, i^4=1. En definitiva, con la introducción de la unidad imaginaria hemos pasado de la dicotomía sur-norte de la recta real al descubrimiento de los otros dos puntos cardinales este-oeste. Esto podría ser generalizado aún más estableciendo otras direcciones en nuestra particular brújula.

El caso es que a través de los números reales e imaginarios podemos resolver cualquier ecuación puramente cuadrática, del tipo x^2=a, con a un número real. Ahora, si pensamos en el hecho que un número complejo se define como la suma de un número real y un número imaginario, el teorema fundamental del álgebra nos lleva al potente resultado consistente en afirmar que cualquier ecuación algebraica de grado n, con coeficientes complejos, presenta n soluciones complejas (teniendo en cuenta las multiplicidades). En particular, para una ecuación cuadrática, ax^2+bx+c=0, con coeficientes reales o complejos, siempre existen dos soluciones, no necesariamente distintas, que vienen dadas por las conocidas expresiones x=(-b+√(b^2-4·a·c))/(2·a) y x=(-b-√(b^2-4·a·c))/(2·a).

Para seguir adentrándose en este bello mundo, os remito ahora al artículo que escribí hace unas pocas semanas para el ABCdario de las matemáticas titulado “El bello mundo de los números imposibles”:

https://www.abc.es/ciencia/abci-bello-mundo-numeros-imposibles-201905060149_noticia.html

Esta entrada también está inspirada en el trabajo de divulgación realizado en torno al siguiente libro:

Sepulcre, J.M.: Weierstrass. La gestación del análisis moderno. ISBN: 978-84-473-8775-5, 156 páginas, Editorial RBA. Colección: Genios Matemáticos, 2017.

Escrito por Juan Matías Sepulcre

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima tercera edición, también denominada X.3, está organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.