Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen que f(x + f(y + f(x + f(y + f(x))))) = 3x + 2y para cualesquiera x, y.
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n >= 2 un entero positivo.
Dividimos un rectángulo de n·(n + 1) en piezas rectangulares: dos de 1·1, dos de 1·2, y así sucesivamente hasta dos de 1·n, con la propiedad de que para cada k >= 2, una pieza 1·k tiene los lados largos horizontales y la otra verticales.
Demostrar que, con estas condiciones, las dos piezas 1·1 comparten un lado.
Solución:
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Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n >= 2 un entero positivo.
Dividimos un rectángulo de n·(n + 1) en piezas rectangulares: dos de 1·1, dos de 1·2, y así sucesivamente hasta dos de 1·n, con la propiedad de que para cada k >= 2, una pieza 1·k tiene los lados largos horizontales y la otra verticales.
Demostrar que, con estas condiciones, las dos piezas 1·1 comparten un lado.
Solución: Aquí.
Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encontrar todos los enteros positivos a, b, c >= 1 que satisfacen la igualdad:
2^a + 7^b = c² + 4
Solucion:
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Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encontrar todos los enteros positivos a, b, c >= 1 que satisfacen la igualdad:
2^a + 7^b = c² + 4
Solución: Aquí.
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los inversos de los números enteros positivos de 2 a 2023 se escriben en una pizarra.
En cada paso se seleccionan dos de los números de la pizarra, x e y, y se reemplazan con el número xy/(xy + (1 – x)(1 – y)).
Este proceso se repite 2021 veces, hasta que sólo quede un número.
¿Cuáles pueden ser los posibles números que se obtengan al repetir este proceso?
Solución:
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Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los inversos de los números enteros positivos de 2 a 2023 se escriben en una pizarra.
En cada paso se seleccionan dos de los números de la pizarra, x e y, y se reemplazan con el número xy/(xy + (1 – x)(1 – y)).
Este proceso se repite 2021 veces, hasta que sólo quede un número.
¿Cuáles pueden ser los posibles números que se obtengan al repetir este proceso?
Solución: Aquí.
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos un paralelogramo ABCD.
Una circunferencia Γ que pasa por el punto A corta a los lados AB y AD en los puntos E y F, respectivamente, y a la diagonal AC en el punto G.
La prolongación de la recta FG corta al lado BC en H, y la prolongación de EG corta al lado CD en I.
Demuestra que la recta HI es paralela a EF.
Solución:
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Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos un paralelogramo ABCD.
Una circunferencia Γ que pasa por el punto A corta a los lados AB y AD en los puntos E y F, respectivamente, y a la diagonal AC en el punto G.
La prolongación de la recta FG corta al lado BC en H, y la prolongación de EG corta al lado CD en I.
Demuestra que la recta HI es paralela a EF.
Solución: Aquí.
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Decimos que una terna (a, b, c) de números reales todos distintos de cero, es local, si:
a² + a = b²
b² + b = c²
c² + c = a².
(a) Probar que, si (a, b, c) es local, entonces (a – b)(b – c)(c – a) = 1.
(b) Sea A₁ A₂ … A₉ un eneágono regular (polígono regular de 9 lados). Supongamos que |A₁A₄| = 1 y sea |A₁A₂| = a, |A₁A₃| = b y |A₁A₅| = c. Prueba que (a, b, -c) es local.
Solución:
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