Solución a cuadrilátero

Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

ABCD es un cuadrilátero convexo, que verifica AB > BC, CD = DA, y el ángulo ABD es igual que el ángulo DBC.

Sea E el punto de la recta AB tal que el ángulo DEB es un ángulo recto.

Prueba que AE = (AB – BC)/2.
Solución:
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Solución a torneo de ajedrez

Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En un torneo de ajedrez participan 8 maestros durante 7 días.

Cada día se disputan 4 partidas en las cuales participan todos los maestros, y al finalizar el torneo todos se han enfrentado contra todos exactamente una vez.

Demuestra que, al terminar el quinto día del torneo, existe un conjunto de al menos 4 maestros que ya han jugado entre ellos todas las partidas.
Solución:
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Torneo de ajedrez

Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En un torneo de ajedrez participan 8 maestros durante 7 días.

Cada día se disputan 4 partidas en las cuales participan todos los maestros, y al finalizar el torneo todos se han enfrentado contra todos exactamente una vez.

Demuestra que, al terminar el quinto día del torneo, existe un conjunto de al menos 4 maestros que ya han jugado entre ellos todas las partidas.
Solución: Aquí.

Solución a potencia con tres impares

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Al desarrollar (1 + x + x²)n en potencias de x, exactamente tres términos tienen coeficiente impar.

¿Para qué valores de n es esto posible?

Solución:
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Solución a triángulo

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En el triángulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente.
Se consideran puntos G y H, en los segmentos BD y CD, respectivamente, tales que el ángulo GID es igual a ABC, y HID es igual a ACB. Probar que BHE = CGF

Solución:
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Triángulo

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En el triángulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente.
Se consideran puntos G y H, en los segmentos BD y CD, respectivamente, tales que el ángulo GID es igual a ABC, y HID es igual a ACB. Probar que BHE = CGF

Solución: Aquí.

Solución a un tablero con piedras

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determinar todas las parejas de enteros positivos (m, n) para los cuales es posible colocar algunas piedras en las casillas de un tablero de m filas y n columnas, no más de una piedra por casilla, de manera que todas las columnas tengan la misma cantidad de piedras, y no existan dos filas con la misma cantidad de piedras.

Solución:
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