Solución a números orensanos

Problema 1 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un conjunto de números enteros T es orensano si existen tres números, llamados a, b y c, a < b < c, tales que a y c pertenecen a T y b no pertenece a T.

Hallar el número de subconjuntos T de {1, 2, … , 2019} que son orensanos.

Solución:
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Solución a elección

Problema 1 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

En una elección cada uno de los cinco candidatos obtuvo una cantidad diferente de votos.

En total hubo 36 votos.

El ganador obtuvo 12 votos y el perdedor obtuvo 4 votos.

¿Cuántos votos podía tener el candidato que quedó en segundo lugar?

¿Puede haber más de una solución?
Solución:
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Elección

Problema 1 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

En una elección cada uno de los cinco candidatos obtuvo una cantidad diferente de votos.

En total hubo 36 votos.

El ganador obtuvo 12 votos y el perdedor obtuvo 4 votos.

¿Cuántos votos podía tener el candidato que quedó en segundo lugar?

¿Puede haber más de una solución?

Solución: Aquí.

Solución a los libros de Karen

Problema 1 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Karen Uhlenbeck, la primera mujer que ha ganado el premio Abel, quiere dar cuatro libros a sus tres estudiantes de geometría: Ana, Bernat y Carla.

Si quiere repartirlos todos. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana reciba dos libros?

(Cuidado, hay varias respuestas debido a la ambigüedad del planteamiento).

Solución:
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Los libros de Karen

Problema 1 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Karen Uhlenbeck, la primera mujer que ha ganado el premio Abel, quiere dar cuatro libros a sus tres estudiantes de geometría: Ana, Bernat y Carla.

Si quiere repartirlos todos. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana reciba dos libros?

(Cuidado, hay varias respuestas debido a la ambigüedad del planteamiento).

Solución: Aquí.

Solución a triángulos girados

Problema 1 de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Tenemos dos triángulos equiláteros iguales, que forman uno con otro un ángulo de 80º en el vértice que se tocan.

Unimos un vértice de un triángulo con el que está en la otra posición del otro (no con el simétrico).

¿Qué ángulo forma este segmento con el lateral del triángulo que no toca el vértice que los une?

Solución:
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Triángulos girados

Problema 1 de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Tenemos dos triángulos equiláteros iguales, que forman uno con otro un ángulo de 80º en el vértice que se tocan.

Unimos un vértice de un triángulo con el que está en la otra posición del otro (no con el simétrico).

¿Qué ángulo forma este segmento con el lateral del triángulo que no toca el vértice que los une?

Solución: Aquí.

Solución a un ángulo y su doble

Problema 4 de la Fase Nacional de la XLVII OME 2011
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo con un ángulo en A que es doble del ángulo en B, y un ángulo en C mayor de 90º.

Sea D un punto de la recta AC tal que BD es perpendicular a BC, y M el punto medio de AB.

Demuestra que el ángulo AMC coincide con el ángulo DMB.

Solución:
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Un ángulo y su doble

Problema 4 de la Fase Nacional de la XLVII OME 2011
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo con un ángulo en A que es doble del ángulo en B, y un ángulo en C mayor de 90º.

Sea D un punto de la recta AC tal que BD es perpendicular a BC, y M el punto medio de AB.

Demuestra que el ángulo AMC coincide con el ángulo DMB.

Solución: Aquí.