Month: agosto 2023

Problema 4 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Se tiene un tablero de tres filas y 2023 columnas.

En la primera fila están escritos los números desde 1 hasta 2023, ordenados de menor a mayor.

El diablo de los números escribe esos mismos números en las casillas de la segunda fila, pero ordenados a su elección.

Después, en cada casilla de la tercera fila escribe la diferencia entre los dos números ya escritos en su misma columna (el mayor menos el menor).

Por ejemplo, si en las primeras dos casillas de una columna están los números 21 y 198, en la tercera casilla se escribe 198 – 21 = 177.

Explicar por qué, sin importar cómo haya completado el diablo la segunda fila del tablero, nunca ocurrirá que al multiplicar los 2023 números de la tercera fila el resultado sea impar.

Solución: Aquí.

Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 13-14 años

En el pizarrón están escritos los 49 números 2, 3, 4, . . . , 49, 50.

Una operación permitida consiste en elegir dos números distintos a y b del pizarrón tales que a sea múltiplo de b y borrar exactamente uno de los dos.

María hace una secuencia de operaciones permitidas hasta que observa que ya no es posible hacer ninguna más.

Determinar la mínima cantidad de números que pueden quedar en el pizarrón en ese momento.

Solución: Aquí.
Solución: Aquí.

Problema 3 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Sobre una recta l hay cuatro puntos, A, B, C y D en ese orden, tales que AB = BC = CD.

Se elige un punto E fuera de la recta l de modo que al trazar los segmentos EB y EC se forme un triángulo equilátero EBC.

A continuación se trazan los segmentos EA y ED y se elige un punto F de modo que al trazar los segmentos FA y FE se forme un triángulo equilátero FAE exterior al triángulo EAD.

Por último se trazan las rectas EB y FA, que se cortan en el punto G.

Si el área del triángulo EBD es 10, calcula el área del triángulo EFG.

Solución: Aquí.

Problema 2 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 13-14 años

Sean a, b, c, d y e enteros positivos tales que a <= b <= c <= d <= e y que a + b + c + d + e = 1002.

a) Determinar el mayor valor posible de a + c + e

b) Determinar el menor valor posible de a + c + e

Solución: Aquí.