Problema 4 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 11-12 años
Se tiene un tablero de tres filas y 2023 columnas.
En la primera fila están escritos los números desde 1 hasta 2023, ordenados de menor a mayor.
El diablo de los números escribe esos mismos números en las casillas de la segunda fila, pero ordenados a su elección.
Después, en cada casilla de la tercera fila escribe la diferencia entre los dos números ya escritos en su misma columna (el mayor menos el menor).
Por ejemplo, si en las primeras dos casillas de una columna están los números 21 y 198, en la tercera casilla se escribe 198 – 21 = 177.
Explicar por qué, sin importar cómo haya completado el diablo la segunda fila del tablero, nunca ocurrirá que al multiplicar los 2023 números de la tercera fila el resultado sea impar.
Solución:
Se trata de un problema de paridad, ya que para que un producto sea par, alguno de los factores debe serlo.
No todas las diferencias pueden ser impares, ya que para que la diferencia sea impar, tendría que restarse siempre un número par de un impar, o un impar de un par, es decir, que la cantidad de números pares e impares debería ser la misma.
Puesto que hay un número más en el conjunto de los impares que en el de los pares, al menos habrá dos números impares que coincidan en las dos primeras filas, en la misma columna, y su diferencia será un número par.
Por tanto, al multiplicarlos el resultado será par, pues contendrá un factor par, por lo menos.
