Triángulo y cuadrado en una rejilla

Problema 1 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una cuadrícula de puntos plana cuyos puntos distan un centímetro del más próximo horizontal y verticalmente, dibujamos un triángulo que se apoya en los puntos de coordenadas (0, 0), (4, 3) y (1, 4), y un cuadrado en los vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) y (1, 2), como indica la figura.

¿Cuál es el área de la parte común?

Solución a menores que 20182019

Problema 0 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Cuántas soluciones enteras tiene el sistema de ecuaciones x² = y³ = K para valores de k menores que 20182019?

Nota: una solución es una terna (x, y, k).

En este problema se piden los casos en los que tanto x, como y, como k, son números enteros.
Solución:

Este problema era un problema de entrada, es decir, sencillo, siempre y cuando te dieses cuenta de un detalle.

Puesto que se trata de valores enteros, k debe ser positivo, por se un cuadrado, o cero.

El valor de y debe ser también positivo.

Sin embargo, x puede ser positivo o negativo (y eso se le olvidaba a muchas personas).

Para que un número entero sea a la vez un cuadrado y un cubo, no hay más remedio que sea una potencia sexta. Hay que ver cuántas potencias sextas enteras hay menores que 20182019, que son exactamente 17, ya que 17^6 = 24137569, que es mayor, pero 16^6 = 16777216, que es menor.

Así que los números del 0 al 16 pueden ser k.

Para cada valor de k aparecen dos ternas, la que tiene la raíz cuadrada positiva y la negativa, excepto el 0, que sólo presenta una terna.

Así, tendríamos (0,0,0), (-1,1,1), (1,1,1), (-2, 2, 64), (2, 2, 64) y así sucesivamente. Hasta un total de 33 ternas diferentes.

Menores que 20182019

Problema 0 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Cuántas soluciones enteras tiene el sistema de ecuaciones x² = y³ = K para valores de k menores que 20182019?

Nota: una solución es una terna (x, y, k).

En este problema se piden los casos en los que tanto x, como y, como k, son números enteros.

Solución a triángulo de Pascal binario

Regalo estacional de los organizadores de la edición 2019 de la Olimpiada Internacional
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Una entrada es una cadena de ceros y unos.

A partir de ella, escribimos una fila de unos y ceros usando las reglas del triángulo de Pascal, donde cada uno de los números es suma de los dos situados en diagonal por encima suyo.

Trabajamos “módulo 2”, es decir, 1 + 1 = 0.

Repetimos el proceso hasta que formamos un triángulo de números.

Por ejemplo, si la entrada es 1 0 1 1 1, el triángulo sería el siguiente:

1   0   1   1   1
  1   1   0   0
    0   1   0
      1   1
        0

La salida de este procedimiento es la cadena de unos y ceros que se puede leer en el lado de este triángulo desde el extremo inferior hasta el extremo superior derecho, en ese orden. En nuestro ejemplo es 0 1 0 0 1.

Si decidimos empezar con una entrada de longitud n, hay 2n posibles cadenas de entrada.

¿Cuántas de esas cadenas tienen la propiedad de que son las mismas que su cadena de salida correspondiente?

No son necesarios cálculos complejos. Use sólo ideas hermosas.

Solución:
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¡Culpables!

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Triángulo de pascal binario

Regalo estacional de los organizadores de la edición 2019 de la Olimpiada Internacional
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Una entrada es una cadena de ceros y unos.

A partir de ella, escribimos una fila de unos y ceros usando las reglas del triángulo de Pascal, donde cada uno de los números es suma de los dos situados en diagonal por encima suyo.

Trabajamos “módulo 2”, es decir, 1 + 1 = 0.

Repetimos el proceso hasta que formamos un triángulo de números.

Por ejemplo, si la entrada es 1 0 1 1 1, el triángulo sería el siguiente:

1   0   1   1   1
  1   1   0   0
    0   1   0
      1   1
        0

La salida de este procedimiento es la cadena de unos y ceros que se puede leer en el lado de este triángulo desde el extremo inferior hasta el extremo superior derecho, en ese orden. En nuestro ejemplo es 0 1 0 0 1.

Si decidimos empezar con una entrada de longitud n, hay 2^n posibles cadenas de entrada.

¿Cuántas de esas cadenas tienen la propiedad de que son las mismas que su cadena de salida correspondiente?

No son necesarios cálculos complejos. Use sólo ideas hermosas.

Solución a una fila en Florencia

Problema 3 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Las n concursantes de cierta EGMO se llaman C1, C2, … ,Cn. Después de la competencia, se ponen en fila fuera del restaurante de acuerdo a las siguientes reglas:

· El Jurado escoge el orden inicial de las concursantes en la fila.

· Cada minuto, el Jurado escoge un entero i, con 1 ≤ i ≤ n.

Si la concursante Ci tiene al menos otras i concursantes delante de ella, le paga un florín al Jurado y se mueve exactamente i posiciones delante de ella.

Si la concursante Ci tiene menos de i concursantes delante de ella, el restaurante se abre y el proceso termina.

(a) Demuestre que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado.

(b) Determine para cada n el máximo número de florines que puede recolectar el Jurado, escogiendo el orden inicial y la secuencia de movimientos astutamente.
Solución: Continue reading Solución a una fila en Florencia