Productos de un conjunto
Problema 2 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018) Se dirige a una edad de: 17 años
Considere el conjunto A = {1 + 1/k / k = 1, 2, 3,…}.
a) Demuestre que todo entero x ≥ 2 puede ser escrito como producto de uno o más elementos de A, no necesariamente distintos.
b) Para todo entero x ≥ 2, sea f(x) el menor entero tal que x puede ser escrito como f(x) elementos de A, no necesariamente distintos.
Demuestre que existen infinitos pares (x, y) de enteros, con x ≥ 2, y ≥ 2, tales que f(xy) < f(x) + f(y).
Nota: los pares (x, y), (z, t) son diferentes si x es diferente de z o y es diferente de t.
Solución: Aquí.
Solución a caballeros y mentirosos
Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 12 años
Los 2018 residentes de un pueblo están estrictamente divididos en dos clases: caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten.
Cierto día todos los residentes se acomodaron alrededor de una circunferencia y cada uno de ellos anunció en voz alta “Mis dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, son mentirosos”.
A continuación uno de los residentes abandonó el pueblo.
Los 2017 que quedaron se acomodaron nuevamente en una circunferencia (no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno de ellos anunció en voz alta “Ninguno de mis vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, es de mi misma clase”.
Determinar, si es posible, de qué clase es el residente que abandonó el pueblo, caballero o mentiroso.
Solución:
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Caballeros y mentirosos
Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 12 años
Los 2018 residentes de un pueblo están estrictamente divididos en dos clases: caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten.
Cierto día todos los residentes se acomodaron alrededor de una circunferencia y cada uno de ellos anunció en voz alta “Mis dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, son mentirosos”.
A continuación uno de los residentes abandonó el pueblo.
Los 2017 que quedaron se acomodaron nuevamente en una circunferencia (no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno de ellos anunció en voz alta “Ninguno de mis vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, es de mi misma clase”.
Determinar, si es posible, de qué clase es el residente que abandonó el pueblo, caballero o mentiroso.
Solución a distancia en decágono
Problema 3 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 12 años
Sea ABCDEFGHIJ un polígono regular de 10 lados que tiene todos sus vértices en un polígono regular de centro O y radio 5.
Las diagonales AD y BE se cortan en P, y las diagonales AH y BI se cortan en Q.
Calcular la medida del segmento PQ.
Solución:
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Distancia en decágono
Problema 3 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 12 años
Sea ABCDEFGHIJ un polígono regular de 10 lados que tiene todos sus vértices en un polígono regular de centro O y radio 5.
Las diagonales AD y BE se cortan en P, y las diagonales AH y BI se cortan en Q.
Calcular la medida del segmento PQ.
Solución: Aquí.
Solución a sucesión periódica y recursiva
Problema 2 de la Olimpiada Internacional (2018) Se dirige a una edad de: 17-19 años
Hallar todos los enteros n mayores o iguales a 3 para los que existen números reales a₁, a₂, …, an + 2 tales que ai·ai + 1 + 1 = ai + 2 para i = 1, 2, …, n, y an + 1 = a₁, y an + 2 = a₂.
Solución:
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Sucesión periódica y recursiva
Problema 2 de la Olimpiada Internacional (2018) Se dirige a una edad de: 17-19 años
Hallar todos los enteros n mayores o iguales a 3 para los que existen números reales a₁, a₂, …, an + 2 tales que ai·ai + 1 + 1 = ai + 2 para i = 1, 2, …, n, y an + 1 = a₁, y an + 2 = a₂.
Solución: Aquí.
Solución a tableros y dominós
Problema 4 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018) Se dirige a una edad de: 17 años
Un dominó es una ficha de 1 x 2 o de 2 x 1 cuadrados unitarios.
Sean n un entero mayor o igual que 3. Se ponen dominós en un tablero de n x n casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse (en otras palabras, sin traslaparse).
El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna.
Una configuración de dominós se llama balanceada si existe algún entero k mayor o igual que 1 tal que cada fila y cada columna tiene valor k.
Demuestre que existe una configuración balanceada para cada n mayor o igual que 3, y encuentre el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.
Solución:
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