Productos de un conjunto

Problema 2 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018)
Se dirige a una edad de: 17 años

Considere el conjunto A = {1 + 1/k / k = 1, 2, 3,…}.

a) Demuestre que todo entero x ≥ 2 puede ser escrito como producto de uno o más elementos de A, no necesariamente distintos.

b) Para todo entero x ≥ 2, sea f(x) el menor entero tal que x puede ser escrito como f(x) elementos de A, no necesariamente distintos.

Demuestre que existen infinitos pares (x, y) de enteros, con x ≥ 2, y ≥ 2, tales que f(xy) < f(x) + f(y).

Nota: los pares (x, y), (z, t) son diferentes si x es diferente de z o y es diferente de t.

Solución: Aquí.

Solución a caballeros y mentirosos

Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Los 2018 residentes de un pueblo están estrictamente divididos en dos clases: caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten.

Cierto día todos los residentes se acomodaron alrededor de una circunferencia y cada uno de ellos anunció en voz alta “Mis dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, son mentirosos”.

A continuación uno de los residentes abandonó el pueblo.

Los 2017 que quedaron se acomodaron nuevamente en una circunferencia (no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno de ellos anunció en voz alta “Ninguno de mis vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, es de mi misma clase”.

Determinar, si es posible, de qué clase es el residente que abandonó el pueblo, caballero o mentiroso.

Solución:
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Caballeros y mentirosos

Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Los 2018 residentes de un pueblo están estrictamente divididos en dos clases: caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten.

Cierto día todos los residentes se acomodaron alrededor de una circunferencia y cada uno de ellos anunció en voz alta “Mis dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, son mentirosos”.

A continuación uno de los residentes abandonó el pueblo.

Los 2017 que quedaron se acomodaron nuevamente en una circunferencia (no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno de ellos anunció en voz alta “Ninguno de mis vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, es de mi misma clase”.

Determinar, si es posible, de qué clase es el residente que abandonó el pueblo, caballero o mentiroso.

Solución a distancia en decágono

Problema 3 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Sea ABCDEFGHIJ un polígono regular de 10 lados que tiene todos sus vértices en un polígono regular de centro O y radio 5.

Las diagonales AD y BE se cortan en P, y las diagonales AH y BI se cortan en Q.

Calcular la medida del segmento PQ.

Solución:
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Solución a sucesión periódica y recursiva

Problema 2 de la Olimpiada Internacional (2018)
Se dirige a una edad de: 17-19 años

Hallar todos los enteros n mayores o iguales a 3 para los que existen números reales a, a, …, an + 2 tales que ai·ai + 1 + 1 = ai + 2 para i = 1, 2, …, n, y an + 1 = a, y an + 2 = a.

Solución:
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Solución a tableros y dominós

Problema 4 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018)
Se dirige a una edad de: 17 años

Un dominó es una ficha de 1 x 2 o de 2 x 1 cuadrados unitarios.

Sean n un entero mayor o igual que 3. Se ponen dominós en un tablero de n x n casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse (en otras palabras, sin traslaparse).

El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna.

Una configuración de dominós se llama balanceada si existe algún entero k mayor o igual que 1 tal que cada fila y cada columna tiene valor k.

Demuestre que existe una configuración balanceada para cada n mayor o igual que 3, y encuentre el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.

Solución:
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