Solución a caballeros y mentirosos

Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Los 2018 residentes de un pueblo están estrictamente divididos en dos clases: caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten.

Cierto día todos los residentes se acomodaron alrededor de una circunferencia y cada uno de ellos anunció en voz alta “Mis dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, son mentirosos”.

A continuación uno de los residentes abandonó el pueblo.

Los 2017 que quedaron se acomodaron nuevamente en una circunferencia (no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno de ellos anunció en voz alta “Ninguno de mis vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, es de mi misma clase”.

Determinar, si es posible, de qué clase es el residente que abandonó el pueblo, caballero o mentiroso.

Solución:

De nuevo tenemos un problema de lógica, que trataremos de abordar haciendo pruebas sobre lo que sucede en cada caso.

En el primer caso, está claro que no todos pueden decir la verdad, o ser mentirosos, porque en ninguno de los casos podrían hacer todos la afirmación.

Supongamos que uno de los sentados a la mesa es mentiroso. Al menos uno de sus dos vecinos debe ser caballero, para que él pueda decir una mentira al afirmar lo que dice.

Sin embargo, si tenemos a un caballero, la frase obliga a que ambos vecinos sean mentirosos, para que él pueda decir la verdad.

Así pues, no podemos estar seguros de la proporción de mentirosos y caballeros, pero al menos la mitad serán mentirosos.

Como máximo, habrá 1009 caballeros y 1009 mentirosos), intercalándose uno con otro.

En otro de los casos, tendremos grupos Caballero – Mentiroso – Mentiroso, que obliga a un máximo de dos mentirosos por caballero, lo que quiere decir que habría 1344 mentirosos, con 672 caballeros intercalados entre cada dos, lo que hace un total de 2016, y después un mentiroso junto al caballero en el extremo y otro caballero entre él y el mentiroso que cierra el círculo. Por lo tanto, la solución que más mentirosos tiene sería de 1345 frente a 673.

Además, podríamos tener soluciones intermedias, cambiando dos mentirosos por dos caballeros, modificando un poco la posición. Una situación así afectaría a la posición de doce personas.

Para que se entienda, pongo un ejemplo con una mesa redonda con 14 personas, 9 mentirosas y 5 caballeros, sentados de esa forma: M-M-C-M-M-C-M-M-C-M-M-C-M-C. Si queremos cambiar a dos mentirosos por dos caballeros, tendríamos M-C-M-C-M-C-M-C-M-C-M-C-M-C, pero no habría soluciones intermedias en este caso.

La segunda situación, en la que queda un residente menos, es ligeramente distinta.

Un caballero, al hacer tal afirmación, indica que sus dos vecinos son mentirosos, de forma similar a la anterior.
Un mentiroso lo que dice es que al menos uno de sus vecinos es mentiroso (ya que si ambos fueran caballeros, estaría diciendo la verdad).

Así que ahora estamos obligados a hacer agrupaciones en las que los caballeros estén separados por al menos dos mentirosos, por lo que debería haber más del doble de mentirosos que de caballeros.

Eso obliga a que la solución válida anterior fuese la solución extrema de 1345 frente a 673, y que, además, el residente que abandonó el pueblo debe ser un caballero, ya que en caso contrario no habría más del doble de mentirosos.

No parece un sitio muy recomendable para vivir, desde luego.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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