Dos cuadrados perfectos

Problema 1 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 14 años

Se tiene un número de 4 dígitos que es un cuadrado perfecto.

Se construye otro número sumándole 1 al dígito de las unidades, restándole uno al de las decenas, sumándole uno al de las centenas, y restándole uno al dígito de las unidades de millar.

Si el número que se obtiene también es un cuadrado perfecto, encuentra el número original. ¿Hay una única solución?

Solución: Aquí.

Solución a una lista que no termina en cero

Problema 1 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Juan hace una lista de 2018 números.

El primero es el 1. Luego, cada número se obtiene de sumarle al anterior alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.

Sabiendo que ninguno de los números de la lista termina en cero, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista?

Solución:
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Una lista que no termina en cero

Problema 1 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Juan hace una lista de 2018 números.

El primero es el 1. Luego, cada número se obtiene de sumarle al anterior alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.

Sabiendo que ninguno de los números de la lista termina en cero, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista?

Solución: Aquí.

Solución a juego con raíz de 5

Problema 4 de la Olimpiada Internacional (2018)
Se dirige a una edad de: 17-19 años

Un lugar es un punto (x, y) en el plano tal que x e y son ambos enteros positivos menores o iguales que 20.

Al comienzo, cada uno de los 400 lugares está vacío.

Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando por Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vacío tal que su distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por una piedra roja es distinto de la raíz de 5.

En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vacío (un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado).

Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra.

Halla el mayor k tal que Ana pueda asegurarse de colocar al menos K piedras rojas, sin importar cómo Beto coloque sus piedras azules.

Solución:
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Juego con raíz de 5

Problema 4 de la Olimpiada Internacional (2018)
Se dirige a una edad de: 17-19 años

Un lugar es un punto (x, y) en el plano tal que x e y son ambos enteros positivos menores o iguales que 20.

Al comienzo, cada uno de los 400 lugares está vacío.

Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando por Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vacío tal que su distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por una piedra roja es distinto de la raíz de 5.

En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vacío (un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado).

Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra.

Halla el mayor k tal que Ana pueda asegurarse de colocar al menos K piedras rojas, sin importar cómo Beto coloque sus piedras azules.
Solución: Aquí.

Solución a dos paralelas en un círculo

Problema 1 de la Olimpiada Internacional (2018)
Se dirige a una edad de: 17-19 años

Sea P la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo ABC. Los puntos D y E están en los segmentos AB y AC, respectivamente, y son tales que AD = AE. Las mediatrices de BD y CE cortan a los arcos menores AB y AC de P en los puntos F y G, respectivamente.

Demostrar que las rectas DE y FG son paralelas (o son la misma recta).

Solución:
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Dos paralelas en un círculo

Problema 1 de la Olimpiada Internacional (2018)
Se dirige a una edad de: 17-19 años

Sea P la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo ABC. Los puntos D y E están en los segmentos AB y AC, respectivamente, y son tales que AD = AE. Las mediatrices de BD y CE cortan a los arcos menores AB y AC de P en los puntos F y G, respectivamente.

Demostrar que las rectas DE y FG son paralelas (o son la misma recta).

Solución a un juego justo

Problema 1 del reto de selección para el MathCamp de Estados Unidos y Canadá (2018)
Se dirige a una edad de: 14-17 años

João y Kinga juegan a un juego con un dado justo de n caras, que están numeradas del 1 al n. En este juego, a João se le asigna un valor j y a Kinga un valor k, ambos en rango del 1 al n. João y Kinga se turnan lanzando el dado, empezando a lanzarlo João.

Si João obtiene un número menor o igual que j, el juego acaba y él gana. Si Kinga obtiene un número menor o igual que k, entonces gana Kinga y el juego acaba. El juego continúa hasta que uno de los dos jugadores gana.

Demuestra que si j = k, entonces João siempre tiene ventaja.

Si n = 6, encuentra todos los posibles valores de j y k que hacen el juego justo (es decir, que hacen que tanto João como Kinga tengan una probabilidad de un 50% de ganar).

Si n = 101, demuestra que ningún valor de j y k hacen el juego justo.

Solución:
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