Solución a una lista que no termina en cero

Problema 1 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Juan hace una lista de 2018 números.

El primero es el 1. Luego, cada número se obtiene de sumarle al anterior alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.

Sabiendo que ninguno de los números de la lista termina en cero, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista?

Solución:

En esta ocasión, se trata de un problema muy sencillo, que intenta ver si razonamos de forma correcta o no.

Puesto que Juan no usa ningún número que acabe en cero, si quiere alcanzar un número lo más alto posible, siempre tendrá que sumar el valor más alto entre los que tiene para elegir (del 1 al 9), es decir, el 9. Pero si al sumar el 9 obtuviese un número acabado en cero, entonces deberá sumar 8 en lugar de 9.

Es decir, que la lista (que acaba en el número más alto posible) empezará 1 – 9 – 18 – 27 – 36 … Eso quiere decir que sumará las 2017 veces un 9 o un 8, una vez cada 9 sumas. Es decir, sumará un 8, 8 veces 9 (en ese caso el resultado acabará en 1 de nuevo, ya que habrá sumado 8*9 = 72 + 8 = 80) y volverá a sumar un 8 para evitar que el siguiente acabe en cero y seguir obteniendo el número más alto posible.

Como tiene que hacer 2017 sumas para obtener 2018 números, y 2017 dividido por 9 da 224 y resto 1, repetirá la suma de un 8 y 8 veces 9, 224 veces, y tendrá que sumar una vez más un 8.

El número total, entonces, será el primer número (1), más 224 veces 80 (que es la suma de un 8 y 8 nueves), más 8, un total de 1 + 224·80 + 8 = 17929. Éste es el número más alto posible que se alcanza de esta manera.

Evalúa la dificultad de este problema:

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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