Torneo de ajedrez
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En un torneo de ajedrez participan 8 maestros durante 7 días.
Cada día se disputan 4 partidas en las cuales participan todos los maestros, y al finalizar el torneo todos se han enfrentado contra todos exactamente una vez.
Demuestra que, al terminar el quinto día del torneo, existe un conjunto de al menos 4 maestros que ya han jugado entre ellos todas las partidas.
Solución: Aquí.
Solución a potencia con tres impares
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Al desarrollar (1 + x + x²)n en potencias de x, exactamente tres términos tienen coeficiente impar.
¿Para qué valores de n es esto posible?
Solución:
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Una potencia con tres impares
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Al desarrollar (1 + x + x²)n en potencias de x, exactamente tres términos tienen coeficiente impar.
¿Para qué valores de n es esto posible?
Solución: Aquí.
Solución a triángulo
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el triángulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente.
Se consideran puntos G y H, en los segmentos BD y CD, respectivamente, tales que el ángulo GID es igual a ABC, y HID es igual a ACB. Probar que BHE = CGF
Solución:
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Triángulo
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el triángulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente.
Se consideran puntos G y H, en los segmentos BD y CD, respectivamente, tales que el ángulo GID es igual a ABC, y HID es igual a ACB. Probar que BHE = CGF
Solución: Aquí.
Solución a un tablero con piedras
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determinar todas las parejas de enteros positivos (m, n) para los cuales es posible colocar algunas piedras en las casillas de un tablero de m filas y n columnas, no más de una piedra por casilla, de manera que todas las columnas tengan la misma cantidad de piedras, y no existan dos filas con la misma cantidad de piedras.
Solución:
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Un tablero con piedras
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determinar todas las parejas de enteros positivos (m, n) para los cuales es posible colocar algunas piedras en las casillas de un tablero de m filas y n columnas, no más de una piedra por casilla, de manera que todas las columnas tengan la misma cantidad de piedras, y no existan dos filas con la misma cantidad de piedras.
Solución: Aquí.
Solución a insertar un cero
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determinar todos los números de cuatro cifras abcd tales que al insertar un dígito 0 en cualquier posición se obtiene un múltiplo de 7.
Solución:
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