Month: abril 2022

13 puntos en una estrella

Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos son iguales.

A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo.

Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.

(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el triángulo equilátero del que son vértices puede no estar trazado en las líneas de la figura dibujada.)

Solución: Aquí.

Solución a un punto en el cuadrilátero

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero convexo, y sea P un punto en su interior.

Si se cumple que área(PAB)·área(PCD) = área(PBC)·área(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.

Solución:
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Un punto en el cuadrilátero

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero convexo, y sea P un punto en su interior.

Si se cumple que área(PAB)·área(PCD) = área(PBC)·área(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.

Solución: Aquí.

Solución a la fila de 2022 personas

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fila hay 2022 personas.

Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad.

Todos ellos afirman “Hay más mentirosos a mi izquierda que gente que dice la verdad a mi derecha”.

Determinar cuántos mentirosos hay en la fila.
Solución:
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La fila de 2022 personas

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fila hay 2022 personas.

Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad.

Todos ellos afirman “Hay más mentirosos a mi izquierda que gente que dice la verdad a mi derecha”.

Determinar cuántos mentirosos hay en la fila.
Solución: Aquí.

Solución a el pedido caprichoso

Problema 9 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un fabricante de tres productos, cuyos precios unitarios son P1, P2 y P3.

Recibe un pedido de Q unidades en total de un detallista, que le transfiere un pago de T euros, que debe satisfacerse exactamente.

El detallista pone la condición de que le envíe el máximo posible del producto más caro (supongamos que es P3), y el resto de los otros productos, de manera que haya al menos uno de cada tipo.

¿Cuántos tiene que enviar de cada tipo para satisfacer el pedido?

(Para fijar los valores con los que se ha de explorar en la búsqueda de la solución, soluciona el problema con los valores P1 = 30, P2 = 45, P3 = 50, Q = 60 y T = 2930 y luego generaliza)

Solución:
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El pedido caprichoso

Problema 9 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un fabricante de tres productos, cuyos precios unitarios son P1, P2 y P3.

Recibe un pedido de Q unidades en total de un detallista, que le transfiere un pago de T euros, que debe satisfacerse exactamente.

El detallista pone la condición de que le envíe el máximo posible del producto más caro (supongamos que es P3), y el resto de los otros productos, de manera que haya al menos uno de cada tipo.

¿Cuántos tiene que enviar de cada tipo para satisfacer el pedido?

(Para fijar los valores con los que se ha de explorar en la búsqueda de la solución, soluciona el problema con los valores P1 = 30, P2 = 45, P3 = 50, Q = 60 y T = 2930 y luego generaliza)

Soilución: Aquí.

Solución a cuatro círculos

Problema 8 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una circunferencia de radio R trazamos una una circunferencia tangente a la circunferencia y al diámetro, que vemos en este caso de color rojo. Su radio será r.

Seguro que sabemos deducir que el radio de esta circunferencia es r = R/2.

A continuación trazamos una circunferencia de radio s tangente a la circunferencia de color rojo, al diámetro y a la circunferencia inicial, en el dibujo de color azul. Se pide como primer dato la relación entre s y R, es decir, el valor k que cumple s = k·R.

Por último, trazamos una circunferencia de radio t, tangente a la circunferencia de radio s anterior, al diámetro y a la circunferencia inicial, que en el dibujo vemos de color naranja. Se pide la relación entre t y R, es decir, el valor h que cumple t = h·R.

Solución:
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