Marmara

Problema 0 del concurso Marató de problemes 2023
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Estamos en un barco, camino a Ucrania para mostrales nuestra solidaridad y desearles que este año 2023 puedan alcanzar la paz.

Atravesamos el Mar de Marmara, a punto de entrar en el Mar Negro y nos damos cuenta de que podemos conseguir que, si en la palabra MARMARA sustituimos cada letra por una cifra o por un signo de operación podemos obtener como resultado 2023.

¿Qué valor debemos dar para ello a M, A y R?

Nota: letras iguaes deben ser sustituidas por el mismo carácter, y letras diferentes, por un carácter diferente. Dos cifras juntas se leen como un número de dos cifras, por ejemplo, 98+98+8 dará 204.

Solución: Aquí.

Solución a dividiendo un rectángulo

Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n >= 2 un entero positivo.

Dividimos un rectángulo de n·(n + 1) en piezas rectangulares: dos de 1·1, dos de 1·2, y así sucesivamente hasta dos de 1·n, con la propiedad de que para cada k >= 2, una pieza 1·k tiene los lados largos horizontales y la otra verticales.

Demostrar que, con estas condiciones, las dos piezas 1·1 comparten un lado.

Solución:
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Dividiendo un rectángulo

Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n >= 2 un entero positivo.

Dividimos un rectángulo de n·(n + 1) en piezas rectangulares: dos de 1·1, dos de 1·2, y así sucesivamente hasta dos de 1·n, con la propiedad de que para cada k >= 2, una pieza 1·k tiene los lados largos horizontales y la otra verticales.

Demostrar que, con estas condiciones, las dos piezas 1·1 comparten un lado.

Solución: Aquí.

Solución a reduciendo una lista

Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Los inversos de los números enteros positivos de 2 a 2023 se escriben en una pizarra.

En cada paso se seleccionan dos de los números de la pizarra, x e y, y se reemplazan con el número xy/(xy + (1 – x)(1 – y)).

Este proceso se repite 2021 veces, hasta que sólo quede un número.

¿Cuáles pueden ser los posibles números que se obtengan al repetir este proceso?

Solución:
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