Sucesión recursiva

Problema 2 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos la sucesión de números enteros f(n), con n mayor o igual que 1, definida por las siguientes condiciones:

f(1) = 1.

Si n es par, f(n) = f(n/2).

Si n es impar y f(n – 1) es impar, entonces f(n) = f(n – 1) – 1.

Si n es impar y f(n – 1) es par, entonces f(n) = f(n – 1) + 1.

a) Calcula f(22020 – 1).

b) Demuestra que la sucesión no es periódica, es decir, que no existen enteros positivos t y n0 que cumplan que si n es mayor que n0, entonces f(n + t) = f(n).

Solución: Aquí.

Solución a la edad de la madre

Problema 1 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: La edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.

¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?
Solución:
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La edad de la madre

Problema 1 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: La edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.

¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?
Solución: Aquí.

Solución a prueba de aptitud

Problema 0 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

A una prueba de aptitud se presentan 2019 personas, 995 chicos y 1024 chicas, y exactamente 1234 superan la prueba.

Calcula cuál es el valor de A – B, siendo A el número de chicas que han superado la prueba y B el número de chicos que no la han superado.

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Solución a juego para dos

Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.

Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.

En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.

El número de cada carta indica su valor en puntos.

Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.

Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
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Juego para dos

Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.

Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.

En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.

El número de cada carta indica su valor en puntos.

Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.

Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
Solución: Aquí.

Solución a dos reuniones, dos problemas

Problema 14 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.

Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.

En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.

Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.

Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.

Solución:
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Dos reuniones, dos problemas

Problema 14 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.

Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.

En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.

Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.

Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.

Solcución: Aquí.

Solución a polinomios almerienses

Problema 1 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Decimos que un polinomio p(x) , con coeficientes reales, es almeriense si tiene la forma p(x) = x³ + ax² + bx + a, y sus tres raíces son números reales positivos en progresión aritmética.

Halla todos los polinomios almerienses tales que p(7/4) = 0.

Solución:
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