Problema 1 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: La edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.
¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?
Solución:
Vamos a poner un ejemplo y factorizar.
Imagina que la madre tiene 37 años. Escribir tres veces seguidas su edad ocasiona el número de 6 cifras 373737, que al dividirlo entre 37, evidentemente da 10101.
Está claro que, tenga la edad que tenga la madre, siempre va a dar ese resultado al dividir, luego el producto de la edad del padre por la de los cuatro hijos es esa, 10101.
Lo que tenemos que hacer es factorizar ese valor.
Evidentemente, es divisible por 3, y da 3·3367, y este último valor es divisible por 7, por lo que tenemos 3·7·481.
Factorizar el 481 ya es más complicado, puesto que su divisor más pequeño es 13, por lo que la factorización completa es 3·7·13·37, y todos ellos son números primos.
Si hubiese dado más factores primos, necesitaríamos más datos para conocer las edades de los hijos, ya que habría que estudiar como agrupar los factores, pero si estamos buscando cinco factores y tenemos cuatro factores primos, está claro que deben ser esos factores, y el 1. Puesto que no hay edades repetidas, no podemos utilizar dos veces el factor 1 y agrupar dos primos, por ejemplo.
Luego las edades de los hijos son 1, 3, 7 y 13. Y la suma de todas sus edades debe ser, por tanto, 24.
