Problema 14 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.
Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.
En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.
Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.
Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.
Solución:
Veamos cómo organizar la información de la primera reunión.
Supongamos que llamamos H al número de hombres y M al número de mujeres.
La información que tenemos que es que H > M.
Ahora, como tenemos que separar en personas sentadas y de pie, tenemos que H = HS + HP, y M = MS + MP, por lo que tenemos que HS + HP > MS + MP.
Como también nos dicen que hay que dicen que hay que diferenciar entre los que miran el móvil (T) y no lo miran (N), tenemos 8 grupos de personas, HST, HSN, HPT, HPN, MST, MSN, MPT, y MPN.
Es decir, que HST + HSN + HPT + HPN > MST + MSN + MPT + MPN.
La segunda información, nos dice que MST + MSN > HST + HPT.
Y la tercera información que nos proporcionan, nos dice que MPT > HPN.
Vamos a tratar de deducir MPN < HSN.
En cada paso, he marcado en color rojo aquellos grupos a los que aplicamos un cambio, según las propiedades que conocemos o si sumamos y restamos la misma cantidad.
MPN = MST + MSN + MPT + MPN – MST – MSN – MPT < HST + HSN + HPT + HPN – MST – MSN – MPT < MST + MSN + HSN + HPN – MST – MSN – MPT = HSN + HPN – MPT < HSN + MPT – MPT = HSN.
Luego, en efecto, hay más mujeres de pie que no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.
Para organizar la segunda reunión, vamos a aplicar el principio de Dirichlet, o principio del palomar.
Sabemos que hay 5 nacionalidades diferentes, y dos sexos. Ahora bien, resulta que también hay sólo 5 grupos de edad, pues en caso de haber 6 edades diferentes, un grupo formado por estas 6 edades haría imposible que se cumpliera que dos tienen la misma edad.
Por lo tanto, si clasificamos a todos los presentes por esas tres características, tenemos que hay 5·5·2 = 50 posibles clasificaciones diferentes (los palomares).
Puesto que hay 201 personas, al repartirlas en esas 50 categorías, tenemos que debe haber una de las categorías, al menos, con más de 4 personas (ya que en caso contrario, tendríamos a lo sumo 200 personas).
Luego deducimos que hay 5 personas en la misma categoría, es decir, que tienen la misma nacionalidad, el mismo sexo y la misma edad.
