Solución a dos cuadrados perfectos

Problema 1 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 14 años

Se tiene un número de 4 dígitos que es un cuadrado perfecto.

Se construye otro número sumándole 1 al dígito de las unidades, restándole uno al de las decenas, sumándole uno al de las centenas, y restándole uno al dígito de las unidades de millar.

Si el número que se obtiene también es un cuadrado perfecto, encuentra el número original. ¿Hay una única solución?

Solución:

Es fácil conocer la diferencia entre estos dos cuadrados, ya que sabemos qué pasa cuando a un dígito de un número le añadimos o le quitamos una unidad.

Puesto que el número obtenido es menor (le restamos a las unidades de millar), restamos al número original el segundo.

Para quitarle una unidad al dígito de las unidades de millar, la diferencia es de 1000. Pero como queremos añadir uno a la de las centenas, sólo restamos 900. Para, además, quitar una unidad al dígito de las decenas, lo que tenemos que restar el 910, y si queremos añadir después de todo una unidad a las unidades, restamos 909.

Por ejemplo, si partiésemos del número 3465 (que no es cuadrado), el resultado sería 2556, y si realizamos la operación 3465 – 909 = 2556, efectivamente.

Hay que tener cuidado, puesto que no todos los números de cuatro cifras son útiles para hacer esta transformación, ya que no podemos aumentar un dígito si es 9, ni disminuirlo si es 0, salvo que entremos en el concepto de la aritmética del reloj, y en esos casos la operación que habría que hacer sería diferente. No consideraremos ese caso, dudo que obtuviésemos un cuadrado con esas propiedades, pero es verdad que tenía que citarlo (gracias por recordármelo, Javier).

Ahora, como la diferencia entre dos cuadrados, según hemos estudiado en clase de matemáticas, es un producto de suma por diferencia (recuerda, a² – b² = (a + b)(a – b)), esta suma y esta diferencia serán dos factores de 909 = 3·3·101, así que tenemos varias posibilidades que podemos estudiar.

Hay que tener en cuenta que siempre a + b es mayor que a – b, y que por la factorización de 909 hay 6 posibles divisores.

Si a + b = 909 y a – b = 1, resolviendo el sistema, tendríamos a = 455 y b = 454, con lo que nuestros cuadrados serían demasiado grandes (por si no te acuerdas, sumando ambas expresiones, 2a = 910, luego a = 455, y como 455 – b = 1, está claro que b = 454).

Si a + b = 303 y a – b = 3, tendremos que a = 153 y b = 150, que siguen siendo demasiado grandes.

Si a + b = 101 y a – b = 9, tendremos que a = 55 y b = 46, cuyos cuadrados tienen cuatro cifras, por lo que sus cuadrados son la única solución posible, 3025 y 2116.

El número que buscamos es, por tanto, 3025. Evidentemente, las cifras cumplen la condición que se pide, pues 3 y 2 son mayores que 0 y 0 y 5 son menores que 9. Y la solución es única.

Puedes valorar la dificulad de este problema aquí:

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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