Problema 2 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En este ejercicio, [x] representa la parte entera del número x, y {x}, su parte decimal.

¿Cuánto suman las soluciones de la ecuación 10[x] + 20{x} = K?

Solución:
Para entender lo que nos están preguntando, pondremos un caso concreto.

Imagina que te piden que resuelvas para K = 84.3, por ejemplo (he puesto este número después de haber probado otros más sencillos, para que no fuese algo demasiado fácil).

10[x] + 20{x} = 84.3

20{x} = 84.3 – 10[x]

Pero si multiplicamos una parte decimal por 20, obtendremos un número menor que 20. Entre 0 y 20, concretamente.

Para conseguir que esa diferencia esté entre 0 y 20, como 10[x] es un múltiplo de 10, [x] debe estar entre 8 (si vale más la diferencia sería negativa) y 7 (si fuese menor, la diferencia sería mayor que 20).

Si [x] = 8, 84.3 – 10[x] = 4.3, y por tanto {x} = 4.3/20 = 0.215, por lo que una solución sería 8.215. En efecto, 10·8 + 20·0.215 = 84,3.

Si [x] = 7, 84.3 – 10[x] = 14.3, y por tanto {x} = 14.3/20 = 0.715, por lo que la otra solución valdría 7.715.

La suma de ambas, por tanto, sería 15.93.

Vamos a intentar generalizar a partir de un valor cualquiera de K.

La expresión K – 10[x] debe estar entre 0 y 20, sin llegar a 20.

Puesto que 10{x} es múltiplo de 10, uno de los valores será [K/10], es decir, la parte entera de dividir K entre 10, ya que al multiplicarla por 10 dará el múltiplo de 10 inferior a K más próximo, y K – 10[x] será menor que 10. En ese caso, K – 10[x] = 10 (K/10 – [K/10]) = 10{K/10}. Eso quiere decir que 20{x} = 10{K/10}, por lo que {x} = {K/10}/2.

La otra solución será una unidad menor, es decir, [K/10] – 1, en ese caso, K – 10[x] = 10(K/10 – ([K/10] – 1)) = 10(K/10 – [K/10] + 1) = 10({K/10} + 1) = 10{K/10} + 10. Eso quiere decir que {x} = {K/10}/2 + 0.5.

No habrá más soluciones, ya que si [x] es mayor, la diferencia será negativa, y si es menor, la diferencia valdrá como mínimo 20.

Ahora, como x = [x] + {x}, la suma de las dos soluciones sería [K/10] + {K/10}/2 + [K/10] – 1 + {K/10}/2 + 0.5, lo que da un total de 2[K/10] + {K/10} – 0.5, es decir, [K/10] + K/10 – 0.5. En nuestro ejemplo, eso coincide con 8 + 8.43 – 0.5 = 15.93, en efecto.