Solución a triángulo

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En el triángulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente.
Se consideran puntos G y H, en los segmentos BD y CD, respectivamente, tales que el ángulo GID es igual a ABC, y HID es igual a ACB. Probar que BHE = CGF

Solución:
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Triángulo

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En el triángulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente.
Se consideran puntos G y H, en los segmentos BD y CD, respectivamente, tales que el ángulo GID es igual a ABC, y HID es igual a ACB. Probar que BHE = CGF

Solución: Aquí.

Solución a un tablero con piedras

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determinar todas las parejas de enteros positivos (m, n) para los cuales es posible colocar algunas piedras en las casillas de un tablero de m filas y n columnas, no más de una piedra por casilla, de manera que todas las columnas tengan la misma cantidad de piedras, y no existan dos filas con la misma cantidad de piedras.

Solución:
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Un tablero con piedras

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determinar todas las parejas de enteros positivos (m, n) para los cuales es posible colocar algunas piedras en las casillas de un tablero de m filas y n columnas, no más de una piedra por casilla, de manera que todas las columnas tengan la misma cantidad de piedras, y no existan dos filas con la misma cantidad de piedras.

Solución: Aquí.

Solución a sucesión recursiva

Problema 2 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos la sucesión de números enteros f(n), con n mayor o igual que 1, definida por las siguientes condiciones:

f(1) = 1.

Si n es par, f(n) = f(n/2).

Si n es impar y f(n – 1) es impar, entonces f(n) = f(n – 1) – 1.

Si n es impar y f(n – 1) es par, entonces f(n) = f(n – 1) + 1.

a) Calcula f(22020 – 1).

b) Demuestra que la sucesión no es periódica, es decir, que no existen enteros positivos t y n0 que cumplan que si n es mayor que n0, entonces f(n + t) = f(n).

Solución:
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Sucesión recursiva

Problema 2 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos la sucesión de números enteros f(n), con n mayor o igual que 1, definida por las siguientes condiciones:

f(1) = 1.

Si n es par, f(n) = f(n/2).

Si n es impar y f(n – 1) es impar, entonces f(n) = f(n – 1) – 1.

Si n es impar y f(n – 1) es par, entonces f(n) = f(n – 1) + 1.

a) Calcula f(22020 – 1).

b) Demuestra que la sucesión no es periódica, es decir, que no existen enteros positivos t y n0 que cumplan que si n es mayor que n0, entonces f(n + t) = f(n).

Solución: Aquí.

Solución a juego para dos

Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.

Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.

En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.

El número de cada carta indica su valor en puntos.

Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.

Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
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Juego para dos

Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.

Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.

En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.

El número de cada carta indica su valor en puntos.

Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.

Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
Solución: Aquí.