Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea q(x) un polinomio de grado 2023 que cumple que q(n) = 1/n para todo n = 1, 2, . . . , 2024.

Halla el valor q(2025).

Solución:

El primer impulso cuando se ve un problema de este tipo es usar un polinomio interpolador, para que pase por todos esos puntos de la forma (n, 1/n) y evaluarlo, pero no es un sistema muy eficiente.

Seguramente funcionaría, pero sería muy costoso.

Si tratamos de hacerlo para dos o tres puntos los resultados son bastante diferentes, y no ofrecen muchas pistas.

Sin embargo, si fijamos la atención en la igualdad que tenemos que cumplir, puede ser mucho más interesante. Puesto que q(x) = 1/x no es una igualdad entre polinomios, podemos multiplicar por x y tener x·q(x) = 1, o bien x·q(x) – 1 = 0.

La primera parte es un polinomio real y el valor de 0 debe obtenerse en nada menos que 2024 valores. Eso sí, el polinomio es de grado 2024, ya que hemos multiplicado por x uno de grado 2023, así que podemos saber exactamente las raíces que va a tener, que serán x = 1, 2, … , 2024.

Por lo tanto este polinomio será de la forma k(x – 1)(x – 2) … (x – 2024) para un cierto valor de k.

¿Cómo podemos calcular el valor de k? Usando el único valor que podemos darle a la expresión, además de los que hemos usado para las raíces, y que sabemos qué va a dar, que es x = 0.

En efecto, si x = 0, la expresión x·q(x) – 1 da -1, y la expresión k(x – 1)(x – 2) … (x – 2024) da k·(2024!), ya que multiplicaremos todos los números enteros entre el -1 y el -2024, y el signo será positivo pues hay una cantidad par.

Por lo tanto, k = 1/(2024!), y por tanto tenemos un polinomio que no es el que buscamos, pero sí que lo contiene: x·q(x) – 1 = -(x – 1)(x – 2) … (x – 2024)/(2024!).

Ahora, si sustituimos x por 2025, tendremos que 2025·q(2025) – 1 = -1, ya que la expresión de la multiplicación volverá a multiplicar los números (esta vez en positivo) del 1 al 2024.

Por tanto, tenemos que 2025·q(2025) = 0, luego q(2025) = 0, que es lo que nos pide el problema.