Problema 1 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un paralelogramo y sea M un punto en la diagonal BD que cumple M D = 2BM .

Las rectas AM y BC se cortan en un punto N .

¿Cuál es el cociente entre el área del triángulo M N D y el área del paralelogramo ABCD?

Solución:

Primero vamos a ver que el punto N divide al lado BC en dos segmentos de la misma longitud.

Puesto que M divide a la diagonal en dos partes, de forma que MB es la mitad de DM, marquemos las paralelas a los lados a un tercio de la distancia (podría ser más evidente si se hacen las paralelas cada sexto del total).

Está claro que el segmento AN avanza en cada uno de los paralelogramos en que se subdivide la figura a razón de medio paralelogramo entre las paralelas a AB por cada uno de los que atraviesa entre las paralelas de DA, ya que tiene que pasar por M. Luego D está en el punto medio entre B y C.

Una vez visto esto, razonemos el área que buscamos por triángulos. Supongamos que tenemos el área completa del paralelogramo y es k.

El área del triángulo DBC supone medio paralelogramo y su valor es k/2.

El área del triángulo DBN supone la mitad de DBC, ya que si usamos la base común BC, tienen la misma altura y la mitad de base. Por tanto su área es k/4.

El área del triángulo MBN supone la tercera parte de DBN, ya que tiene la misma base pero sólo la tercera parte de altura, por lo que su área es k/12.

Por tanto, ya que DMN es DBN – MBN, su área es k/4 – k/12 = 2k/12 = k/6.

Por lo que el cociente buscado es 1/6.

También se puede razonar que el triángulo que buscamos es equivalente en área a 3 medios paralelogramos de los que hemos dibujado, con lo que su área representa 3/2 frente a los 9 de todos el paralelogramo, por lo que el cociente sería (3/2)/9 = 3/18 = 1/6.

Otra forma de resolverlo sería con coordenadas, aunque sale algo difícil.

Voy a poner el eje de coordenadas en D, y utilizar como unidad la sexta parte del lado de DC del paralelogramo (la he ido cambiando mientras redactaba la respuesta para que no me salgan fracciones). Así, D es (0,0) y C es (6, 0)

Utilizo dos parámetros, s y t, que serán parte de las coordenadas de B, que se escribe (6s, 6t), y, para que sea un paralelogramo, A tiene que ser (6s – 6, 6t). Evidentemente, su área es 6t·6 = 36t unidades en estas coordenadas. Tratemos de calcular el punto M, el punto N, y el área del triángulo DMN después.

El vector DN es (6s, 6t) y, por la propiedad de M, M = D +(2/3)DN = (4s, 4t).

Ahora voy a construir las rectas BC y AM para buscar el punto N, donde se cortan.

Recta BC, con vector (6s – 6, 6t) tendrá una ecuación parecida a tx + (1 – s)y = b, y pasará por (6, 0), luego será tx + (1 – s)y = 6t.

Recta AM, con vector (2s – 6, 2t), tendrá una ecuación parecida a tx + (3 – s)y = b y pasará por (4s, 4t), por lo que será tx + (3 – s)y = 4ts + 12t – 4ts = 12t, es decir, tx + (3 – s)y = 12t.

Ahora hay que ver dónde se cortan. Restando ambas igualdades, se tiene que 2y = 6t, por lo que y = 3t. Substituyendo en la primera ecuación , tenemos que tx = 3(s – 1)t + 6t = 3st +3t.

Por lo tanto, las coordenadas del punto N son (3(s + 1), 3t).

Nos piden por tanto el área, que es fácil calcularla dividiendo la figura en triángulos y trapecios dentro de las coordenadas, usando los puntos auxiliares proyección sobre el eje X, Mx y Nx.

Area de DMMx sería 8st mediante el área del triángulo.

Área del trapecio MxMNNx sería, operando, (7/2)t(3 – s)

Área del triángulo DNNx sería (9/2)(t(s +1)).

Si sumamos las dos primeras con un poco de cuidado, y restamos la segunda, tenemos el área del triángulo, que sería 6t.

Por tanto, el triángulo buscado es la sexta parte del total, que es lo que nos pregunta el problema.