Área sombreada

Problema 1 del nivel A fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

¿Qué fracción representa la parte sombreada?

En el dibujo, a partir de un cuadrado, se ha dividido cada lado en tres partes, uniendo una esquina con la más lejana de las dos divisiones de los dos lados contrarios, y las dos divisiones más próximas de la otra esquina.


Solución: Aqui.

Solución a el valor de un polinomio

Problema 1 del nivel B fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Sabiendo que el valor numérico del polinomio p(x) = x² – 3x + 5 en el punto x = k es 0, calcula el valor que tendrá q(x) = x⁴ – 6x³ + 9x² – 7 en el punto x = k.
Solución:
Este problema consistía realmente en calcular el valor del polinomio q sin conocer el valor de k.

Si buscamos el valor de k, nos encontraremos que no es un número real (según nuestros conocimientos, no existirá) y en ese caso, puede que caigamos en la tentación de dar el problema por cerrado. Sin embargo, a pesar de no ser un número real, se puede evaluar el polinomio q a partir de propiedades como que p(k) = 0, en este caso.

La clave es ver si el polinomio p está contenido en el polinomio q un determinado número de veces, y para eso la herramienta que debemos usar es la división:

Si dividimos q(x) = x⁴ – 6x³ + 9x² – 7 entre p(x) = x² – 3x + 5, veremos que realmente x⁴ – 6x³ + 9x² – 7 = (x² – 3x + 5)( x² – 3x – 5) + 18.

Eso quiere decir que, si k hace que p(k) valga cero, en realidad el producto que forma el primer sumando es cero, con lo que el polinomio q(k) realmente valdrá 18.

En este problema veo algunas cosas que resultan poco adecuadas para un concurso, ya que dependiendo de lo que la persona que se enfrenta a él sepa, puede tratar de hacer una cosa u otra, y además debe estar familiarizado con la operación de división entre polinomios para darle respuesta, ya que no se me ocurre ningún otro método para darle respuesta.

Solución a ¿quién dice la verdad?

Problema 3 del nivel C de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

En el país Vermentira, la gente está dividida de la siguiente forma:

– Verdotones: los que siempre dicen la verdad.

– Mentirones: los que nunca dicen la verdad.

Lo curioso es que, además de esa característica, no hay manera de diferenciarlos por su apariencia.

Ahora supongamos que una persona viaja desde Madrid y, al llegar a Vermentita, se encuentra con tres mujeres: Alicia, Beatriz y Carmen. Esta persona conoce las características de la población y, como desea saber a qué categoría pertenece cada una de ellas, les hace las siguientes preguntas:

– A Alicia le pregunta: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Alicia le contesta: A mentirones.

– A Beatriz le pregunta: “¿Es verdad que Alicia y Carmen pertenecen a diferentes categorías?”. Y Beatriz le responde: No.

– Por último, le pregunta a Carmen lo mismo que le había preguntado a Alicia: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Carmen le dice: Ella es una verdotona.

Por tanto, con esas tres preguntas que hizo la persona:

– ¿Se puede determinar a qué categoría pertenece cada una de las mujeres?

– Si se pudiera determinar, indica a qué grupo pertenecerá cada una.

– Si no se pudiera, explica las razones.

Solución:
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¿Quién dice la verdad?

Problema 3 del nivel C de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

En el país Vermentira, la gente está dividida de la siguiente forma:

– Verdotones: los que siempre dicen la verdad.

– Mentirones: los que nunca dicen la verdad.

Lo curioso es que, además de esa característica, no hay manera de diferenciarlos por su apariencia.

Ahora supongamos que una persona viaja desde Madrid y, al llegar a Vermentita, se encuentra con tres mujeres: Alicia, Beatriz y Carmen. Esta persona conoce las características de la población y, como desea saber a qué categoría pertenece cada una de ellas, les hace las siguientes preguntas:

– A Alicia le pregunta: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Alicia le contesta: A mentirones.

– A Beatriz le pregunta: “¿Es verdad que Alicia y Carmen pertenecen a diferentes categorías?”. Y Beatriz le responde: No.

– Por último, le pregunta a Carmen lo mismo que le había preguntado a Alicia: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Carmen le dice: Ella es una verdotona.

Por tanto, con esas tres preguntas que hizo la persona:

– ¿Se puede determinar a qué categoría pertenece cada una de las mujeres?

– Si se pudiera determinar, indica a qué grupo pertenecerá cada una.

– Si no se pudiera, explica las razones.

Solución: Aquí.

Solución a números consecutivos

Problema 3 del nivel B de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Consideramos 13 números enteros consecutivos y las afirmaciones siguientes:

a) El número central es la media de los que ocupan las posiciones 6ª y 8ª.

b) La suma de todos los números es divisible por 13.

c) Al menos cuatro de ellos son divisibles por 3.

d) Siete son pares.

e) La mediana de esta serie de números es la media de los dos extremos.

¿Cuáles de estas afirmaciones no son siempre verdaderas?

Solución:
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Números consecutivos

Problema 3 del nivel B de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Consideramos 13 números enteros consecutivos y las afirmaciones siguientes:

a) El número central es la media de los que ocupan las posiciones 6ª y 8ª.

b) La suma de todos los números es divisible por 13.

c) Al menos cuatro de ellos son divisibles por 3.

d) Siete son pares.

e) La mediana de esta serie de números es la media de los dos extremos.

¿Cuáles de estas afirmaciones no son siempre verdaderas?

Solución: Aquí.

Solución a deshaciendo el camino

Problema 3 de nivel A de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Seguro que conocéis los dibujos que se deben recorrer sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por una línea ya trazada.

Para no perdernos, hemos ido numerando los vértices, y hemos obtenido la secuencia 15294758137269.

¿Puedes colocar los números sobre la figura?

Solución:
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Deshaciendo el camino

Problema 3 de nivel A de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Seguro que conocéis los dibujos que se deben recorrer sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por una línea ya trazada.

Para no perdernos, hemos ido numerando los vértices, y hemos obtenido la secuencia 15294758137269.

¿Puedes colocar los números sobre la figura?

Solución: Aquí.

Solución a depósito de agua

Problema 2 del nivel C de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

En el pueblo quieren construir dos depósitos de agua (con tapa), y tienen que elegir entre dos proyectos que se han presentado.

El primero es un cilindro con radio 30,9 metros, y una altura de 50 metros.

El segundo es un depósito con forma de prisma rectangular, con una base de 30 por 100 metros, y una altura de 50 metros.

Calcula el volumen de cada proyecto, para encontrar cuál es el que tiene más capacidad.

Puesto que el material para hacerlo cuesta 3,2 € el metro cuadrado, ¿cuál sería el más barato de los dos al construirlo?
Solución:
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