Solución a tres vértices alineados

Problema 10 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tres cuadrados que tienen las bases alineadas tienen la propiedad de que su vértice superior izquierdo está alineado.

Suponiendo que tenemos el valor a del lado del cuadrado menor, y el valor b del lado del cuadrado mediano, determina el valor del lado x del lado del cuadrado mayor.

Solución:
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Solución a función racional

Problema 2 de la Olimpiada Matemática Canadiense de 2008
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todas las funciones f racionales de variable racional (es decir, del conjunto de los números racionales en sí mismo) que cumplen, para cualquier par de números racionales x e y, la relación f(2f(x) + f(y)) = 2x + y.

Solución:
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Solución a el viaje

Problema 9 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Un centro escolar organizó un viaje en autobús que tiene un coste total fijo para el centro independientemente del número de alumnos que vayan. El centro divide el coste total entre el número de personas que se apunten.

Se inscribieron más de veinte y, cuando calcularon el coste individual que supondría, el resultado fue una cantidad entera de euros.

Cuando anunciaron el coste, cuatro de los que se habían apuntado se borraron. Volvieron a calcular el coste individual, que curiosamente fue otra vez un número entero de euros, y se comenzó a recaudar el dinero. Todo fue bien hasta llegar a los dos últimos, que dijeron que no podrían ir a la excursión.

El día del viaje se volvió a calcular el coste del viaje por participante, que volvió a ser un número entero, y se tuvieron que recoger 3€ más a cada uno de los alumnos que finalmente fueron y que habían pagado ya la parte que les correspondía anteriormente.

¿Cuánto ha costado finalmente el viaje a cada participante?

Solución:
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Solución a escalera de cuadrados

Problema 8 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En la siguiente figura se aprecia una estructura de aspecto triangular hecha con cuadrados iguales, todos de lado 1 cm.

En la fila superior hay 1 cuadrado.

Bajo esa fila hay otra con dos cuadrados.

La tercera fila empezando desde arriba tiene tres cuadrados.

Y así sucesivamente, hasta la fila n, en la que hay n cuadrados.

La imagen corresponde a un n = 4.

Cada cuadrado recae sobre dos de los cuadrados de la fila previa, no necesariamente centrado, pero sin dejar huecos con los cuadrados vecinos.

Hay una línea negra dibujada que marca el polígono que rodea a todos estos cuadrados.

Indicamos con S la superficie de este polígono en cm² para un n determinado, y P al perímetro en cm del mismo polígono.

Se puede escribir S en función de P como un polinomio d segundo grado, independientemente del n. Esta relación se da para cualquier valor de n.

Encuentra los valores a, b, c que cumplen S = aP² + bP + c.

Solución:
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Solución a dos ortoedros unidos

Problema 7 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Un ortoedro es un poliedro con seis caras rectangulares perpendiculares cada una de ellas a sus vecinas.

Supongamos que tenemos dos octoedros que tienen la particularidad de que pueden unirse por una de sus caras para formar un ortoedro mayor.

Demuestra que, si la superficie total del ortoedro mayor es exactamente 3/4 de la suma de las superficies de los dos originales, entonces las dimensiones del ortoedro mayor x, y, z cumplen la relación 1/x + 1/y = 2/z.

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Solución a un triminó atrapado

Problema 6 de la marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Se ha inscrito un triminó formado por tres cuadrados iguales unidos por sus lados formando un ángulo recto, en un rectángulo, de forma que cinco de sus vértices están en los lados del rectángulo, como se ve en la figura.

Si suponemos que el lado de cada cuadrado es un número conocido (pongamos que vale 3), calcula el área del rectángulo.

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Solución a un cuadrado con triángulos

Problema 1 de la I Math Home 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Dentro de un cuadrado de área 12 se colocan tres triángulos de áreas 4, 5 y 6, respectivamente.

Muestra que dos de los triángulos se solapan en una región de área mayor o igual a 1.

Solución:

En realidad, da igual que las formas que dibujes en el interior del cuadrado tengan formas de triangulo o cualquier otra, así como que el exterior sea un cuadrado o tenga otra forma, siempre que sean medibles.

Cada uno de los puntos del cuadrado cumple que, o bien no está en ninguno de los tres triángulos, o bien sí lo está. Si está dentro del primero, puede ser que esté en otro o no.

Así se llega con paciencia a que el área del cuadrado es igual al área exterior de los tres triángulos más la suma de los tres, menos la suma de las tres intersecciones, más la suma de la intersección de los tres.

Así, Denotando el cuadrado como D y A, B y C los triángulos, a(D) = a(D – A∪B∪C) + a(A) + a(B) + a(C) – a(A∩B) – a(B∩C) – a(A∩C) + a(A∩B∩C).

De esta forma, 12 = a(D – A∪B∪C) + 15 – a(A∩B) – a(B∩C) – a(A∩C) + a(A∩B∩C), por lo que se tiene que a(A∩B) + a(B∩C) + a(A∩C) = 3 + a(D – A∪B∪C) + a(A∩B∩C).

Por lo tanto, si las tres áreas propuestas son menores que 1, alguna de las otras dos debe ser negativa, lo cual es absurdo.

Solución a sala de cine

Problema 4 de la Marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Una sala de cine hace cuentas acerca de la asistencia de espectadores.

Los cinco días de diario, la media aritmética es de 1100 asistentes.

El sábado y el domingo, la sala está llena.

Si se tienen en cuenta todos los días de la semana, la media sube un 24% respecto a los días de diario.

¿Cuál es la capacidad de la sala?

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Solución a botellas en el colegio

Problema 3 de la Marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Entre 6 personas han recogido 505 botellas de plástico para un trabajo escolar.

Se sabe que cada uno ha traído al menos 11 botellas, ya que parte del trabajo era crear un determinado objeto geométrico.

Andrés dice ¡yo he traído 20!

Bea dice que ha traído 21 y Cris afirma que ha traído 22.

Dani dice “ahora que habéis dicho eso, yo estoy seguro de que soy el que más he traído”.

¿Cuántas botellas ha tenido que traer Dani para poder hacer esa afirmación, como mínimo?

Solución:
Para que Dani pueda afirmar que es el que más ha traído, tiene que asegurarse de que nadie ha traído más que él.

En el peor de los casos, cuatro de los compañeros habrán traído muy pocas, y el quinto muchas, que es contra el que tendrá que competir Dani.

Como sabe, por las afirmaciones, que tres compañeros han traído 20, 21 y 22, que suman 63, el caso más desfavorable es que el cuarto compañero sólo trajera 11, que es el mínimo.

Entre esos cuatro compañeros, en ese hipotético caso, tendrían 74 botellas, y quedarían 431 para aportar entre Dani y su rival.

Por tanto, Dani debe aportar al menos 216, que es el primer número entero mayor que la mitad de 431.