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Category Archives: Olimpiadas
Producto de factoriales
Problema 4 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Antes de probar con este problema, deberíamos saber que el factorial de un número natural n, que se escribe n!, es n! = 1·2·3·…·(n – 1)·n.
Consideremos el número P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!·2!·3!·…·98!·99!·100! (es decir, como el producto del factorial de los 100 primeros números).
¿Cuál es el valor del número natural s para el cual Q = P/(s!) es un cuadrado perfecto de un número natural?
Solución: Aquí.
Solución a área en un cuadrado
Problema 3 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, además, AE = n·EB, donde n es un valor real positivo.
¿Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa el área del triángulo sombreado?
Solución:
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Área en un cuadrado
Problema 3 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, además, AE = n·EB, donde n es un valor real positivo.
¿Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa el área del triángulo sombreado?
solución: Aquí.
Solución a repartiendo postre
Problema 2 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
El abuelo, la abuela y Pau comen juntos un domingo.
Para postre, el abuelo ha comprado tres brazos de gitano, uno de nata, uno de trufa y uno de crema.
Pau dice: “Abuelo, para repartirlos mejor, podrías partir cada uno en tres trozos exactamente iguales”. Y así lo hace el abuelo.
Entonces, Pau pregunta: “¿De cuántas formas nos los podemos repartir si cada uno debe escoger tres trozos?
El abuelo no supo responderle a la pregunta en ese momento.
¿Qué respuesta darías tú?
Solución:
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Repartiendo el postre
Problema 2 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
El abuelo, la abuela y Pau comen juntos un domingo.
Para postre, el abuelo ha comprado tres brazos de gitano, uno de nata, uno de trufa y uno de crema.
Pau dice: “Abuelo, para repartirlos mejor, podrías partir cada uno en tres trozos exactamente iguales”. Y así lo hace el abuelo.
Entonces, Pau pregunta: “¿De cuántas formas nos los podemos repartir si cada uno debe escoger tres trozos?
El abuelo no supo responderle a la pregunta en ese momento.
¿Qué respuesta darías tú?
Solución: Aquí.
Solución a el juego de las pilas de monedas
Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 años
Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
Ana y Beto juegan al siguiente juego por turnos.
Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para él.
Después, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.
Ellos continúan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.
Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene más monedas, gana.
Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.
Solución:
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El juego de las pilas de monedas
Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 años
Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
Ana y Beto juegan al siguiente juego por turnos.
Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para él.
Después, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.
Ellos continúan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.
Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene más monedas, gana.
Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.
Solución: Aquí.
Solución a números en cajas
Problema 5 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 11-12 años
Se tienen 100 cajas que se etiquetaron con los números 00, 01, 02, …, 99. En mil tarjetas se escribieron los números 000, 001, 002, …, 999, uno en cada tarjeta.
Está permitido colocar una tarjeta en una caja si el número de la caja se puede obtener al eliminar uno de los dígitos del número de la tarjeta. Por ejemplo, está permitido colocar la tarjeta 037 en la caja 07, pero no está permitido colocar la tarjeta 156 en la caja 65.
¿Puede ocurrir que luego de colocar todas las tarjetas en las cajas, haya exactamente 50 cajas vacías?
Si la respuesta es sí, indicar cómo se colocan las tarjetas en las cajas; si la respuesta es no, explicar por qué es imposible.
Solución:
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Números en cajas
Problema 5 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 11-12 años
Se tienen 100 cajas que se etiquetaron con los números 00, 01, 02, …, 99. En mil tarjetas se escribieron los números 000, 001, 002, …, 999, uno en cada tarjeta.
Está permitido colocar una tarjeta en una caja si el número de la caja se puede obtener al eliminar uno de los dígitos del número de la tarjeta. Por ejemplo, está permitido colocar la tarjeta 037 en la caja 07, pero no está permitido colocar la tarjeta 156 en la caja 65.
¿Puede ocurrir que luego de colocar todas las tarjetas en las cajas, haya exactamente 50 cajas vacías?
Si la respuesta es sí, indicar cómo se colocan las tarjetas en las cajas; si la respuesta es no, explicar por qué es imposible.
Solución: Aquí.
Solución a doblando un rectángulo
Problema 4 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 años
Matías tiene una hoja de papel rectangular ABCD, con AB < AD.
Inicialmente, él dobla la hoja a lo largo de una recta AE, donde E es un punto sobre el lado DC, de modo que el vértice D quede ubicado sobre el lado BC, como muestra la figura.
Luego dobla nuevamente la hoja a lo largo de una recta AF, donde F es un punto sobre el lado BC, de modo que el vértice B quede sobre la recta AE; y finalmente dobla la hoja a lo largo de la recta EF.
Matías observó que los vértices B y C quedaron ubicados sobre un mismo punto del segmento AE después de hacer los dobleces.
Calcular la medida del ángulo DAE.
Solución:
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