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Solución a “La fiesta”
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una fiesta hay 100 personas. Cada par de personas son o bien amigos o bien enemigos (una y solo una de las dos cosas).
Se cumple la siguiente propiedad: si A y B son enemigos y B y C son enemigos, entonces A y C son amigos.
Demostrar que hay dos personas X e Y que cumplen simultáneamente estas condiciones:
X tiene el mismo número de enemigos que Y .
X e Y son amigos.
Solución:
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La fiesta
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una fiesta hay 100 personas. Cada par de personas son o bien amigos o bien enemigos (una y solo una de las dos cosas).
Se cumple la siguiente propiedad: si A y B son enemigos y B y C son enemigos, entonces A y C son amigos.
Demostrar que hay dos personas X e Y que cumplen simultáneamente estas condiciones:
X tiene el mismo número de enemigos que Y .
X e Y son amigos.
Solución. Aquí.
Solución a “Cometa sobre trapecio”
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que AD = DC = CB = 5 y AB = 10.
Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD.
La recta perpendicular a AC trazada por O corta a la prolongación del lado AD en E, y a la base AB en F.
Calcular el área del cuadrilátero AECF.
Solución:
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Cometa sobre trapecio
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que AD = DC = CB = 5 y AB = 10.
Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD.
La recta perpendicular a AC trazada por O corta a la prolongación del lado AD en E, y a la base AB en F.
Calcular el área del cuadrilátero AECF.
Solución: Aquí.
Solución a “Perpendicular en un cuadrilátero”
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero.
Sean J e I los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente.
Sea G el punto de la recta BC tal que DG es perpendicular a BC y sea H el punto de la recta AD tal que CH es perpendicular a AD.
Las rectas DG y CH se cortan en el punto K.
Sea E el punto de la recta BC tal que AE es perpendicular a BC y sea F el punto de la recta AD tal que BF es perpendicular a AD.
Las rectas AE y BF se cortan en el punto L.
Probar que KL es perpendicular a JI.
Solución:
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Perpendicular en un cuadrilátero
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero.
Sean J e I los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente.
Sea G el punto de la recta BC tal que DG es perpendicular a BC y sea H el punto de la recta AD tal que CH es perpendicular a AD.
Las rectas DG y CH se cortan en el punto K.
Sea E el punto de la recta BC tal que AE es perpendicular a BC y sea F el punto de la recta AD tal que BF es perpendicular a AD.
Las rectas AE y BF se cortan en el punto L.
Probar que KL es perpendicular a JI.
Solución: Aquí.
Solución a “Dos polinomios muy parecidos”
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea P(x) un polinomio de grado 5, y sean a y b dos números reales diferentes de 0.
Supongamos que el resto de P(x) al dividirlo por x³ + ax + b es igual al resto al dividirlo por x³ + ax² + b.
Determinar el valor de a + b.
Solución:
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Dos polinomios muy parecidos
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea P(x) un polinomio de grado 5, y sean a y b dos números reales diferentes de 0.
Supongamos que el resto de P(x) al dividirlo por x³ + ax + b es igual al resto al dividirlo por x³ + ax² + b.
Determinar el valor de a + b.
Solución: Aquí.
Solución a “Sumas de números formadas por unos”
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Hallar el menor entero positivo n tal que la suma de n sumandos
A(n) = 1 + 11 + 111 + … + 11…1
es divisible por 45.
Solución:
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Sumas de números formados por unos
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Hallar el menor entero positivo n tal que la suma de n sumandos
A(n) = 1 + 11 + 111 + … + 11…1
es divisible por 45.
Solución. Aquí.