Olimpiada Matemática Española, fase local 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Demuestra que hay infinitos primos cuyo resto al dividirlos entre 3 es 2, es decir, que son anteriores a un múltiplo de 3.

Solución:

Siguiendo el ejemplo de la demostración de la infinitud de números primos, debemos construir una reducción al absurdo, es decir, suponer que hay una cantidad finita, y conseguir otro que sea de esa misma forma, y primo con todos los anteriores (incluso con los que no sean de esa forma).

Para empezar, vamos a buscar algún primo con esa propiedad. Está claro que 2, 5, y 11 son primos con esa propiedad.

Supongamos ahora que hubiese una cantidad finita. Tendríamos que elaborar un número que fuese primo a partir de ellos. Las características de ser primo se relacionan a través de la multiplicación, es decir, un número es primo si no podemos multiplicar dos números mayores que uno y obtener ese número como resultado.

Supongamos ahora que multiplicamos todos los números primos de ese tipo, que hemos supuesto que hay en número finito. El truco más habitual para obtener un número que sea difícil de dividir por los primos que ya tenemos es sumarle uno, ya que al añadir una unidad, el resultado no es divisible por ninguno de los números primos que hemos usado para obtener el producto previo (por ejemplo, 2·3 + 1 no es divisible por 2 ni por 3, en este caso es primo, no siempre es primo, pero al menos no es divisible entre esos dos).

Bien, pues sumémosle uno. Lo primero que debemos asegurar es que es de ese tipo.

Si multiplicamos un número de resto 2 al dividir entre 3 por otro del mismo tipo, el resto del resultado será el mismo que el de 2·2 = 4, es decir 1. Sin embargo, si multiplicamos tres números de ese tipo, estaremos multiplicando uno de resto 1 (el producto de los 2 primeros) por otro de resto 2, y el resto del resultado será el de 1·2 = 2. Si multiplicamos cuatro, volveremos a obtener uno de resto uno, razonando así, por lo que, por inducción, si el número de primos que hemos usado es par, el resto al dividir por 3 es 1, y si es impar, el resto será 2.

Con el conocimiento del párrafo anterior, es evidente que necesitamos que el resto del producto que teníamos fuese de resto 1, para que al sumarle 1 obtengamos uno de resto 2. Así que en el caso de que tengamos un número impar de primos en ese hipotético conjunto finito de números primos con resto 2, multiplicaremos el resultado por 2, por ejemplo, y garantizaremos que el resto del resultado es 1, es decir, que el resto después de sumarle 1 es 2.

Pongamos un ejemplo. Si sólo tuviésemos 2 y 5, el resultado del producto es 10, luego al sumarle uno dará 11, que es de los que nos interesan. Sin embargo, si fuese 2, 5, y 11, el resultado del producto será 110, y su suma no es del tipo que queremos, 111 (de hecho, es múltiplo de 3), pero si lo volvemos a multiplicar por 2, tenemos el 220, que al sumarle 1 sería 221, que sí es de resto 2. y sigue sin ser múltiplo de 2, 5 u 11.

Así que, según la hipótesis de partida, tenemos un número (de resto 2 con tres) que no es múltiplo de ninguno de los números primos que da resto 2, así que, en el caso de que no sea primo, toda su descomposición en factores, debería ser con otros primos, y, claro, ninguno debe ser 3, puesto que tiene resto 2, pero el producto de dos primos de resto 1 también tiene resto 1, luego el número debería ser de resto 1.

Por tanto, debe ser primo, cosa que también es imposible por ser de resto 2, y no estaría en el conjunto inicial. Por reducción al absurdo, tendríamos que este conjunto es, en efecto, infinito.