Problema 1 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a y b dos números naturales mayores o iguales a 1, cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por D y M, respectivamente.

Demuestra que D² + M² ≥ a² + b².

Solución:

Era uno de los problemas más sencillos de la Fase Local, y dio muchos puntos a los participantes. También nos han llegado varios mensajes de aficionados contando sus soluciones, que eran variaciones de este mismo argumento.

Hay dos ideas que debemos emplear. Una reduce la desigualdad a una igualdad más sencilla, y la otra justifica esta desigualdad.

La idea para empezar a razonar proviene de estudiar casos sencillos, de donde vemos que el factor D² es común a todos los sumandos de la desigualdad.

En primer lugar, debemos tener en cuenta que el divisor común es el mayor que divide tanto a a como a b, de forma que a = D·s y b = D·t, con s y t números primos entre sí y mayores o iguales que 1. Además, D divide a M, al igual que s y t. De hecho, M = D·s·t, ya que ambos tienen que dividir a M, y debe ser el menor posible que lo haga. Está claro que debe tener esos factores, y si tuviese más, sería mayor aún.

Por lo tanto, la desigualdad que tenemos que probar queda como D² + D²·s²·t² ≥ D²·s² + D²·t², que es equivalente a 1 + s²·t² ≥ s² + t², debido a que D es un número positivo. Esta desigualdad es una más sencilla que es la que tenemos realmente que probar.

En segundo lugar, podemos probar que es cierta esta desigualdad viendo que es equivalente, restando a ambos extremos, a s²·t² – s² ≥ t² – 1, y esta desigualdad es equivalente a s²·(t² – 1) ≥ t² – 1. Puesto que t es mayor que 1, el número t² – 1 es positivo, por lo que esta desigualdad es (dividiendo a ambos extremos de la desigualdad) equivalente a s² ≥ 1, cosa que sabemos que es cierta por la elección de s.

Por lo tanto, queda demostrado este resultado.