Problema 4 de la Fase Local (sábado) de la Olimpiada Matemática Española (2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Probar que:

1) La suma de la distancias desde un punto de la superficie de la esfera inscrita en un cubo en el espacio tridimensional real a todas las caras del mismo no depende del punto elegido.

2) Misma cuestión anterior para la suma de los cuadrados de las distancias.

3) Misma cuestión que las anteriores para la suma de los cubos de las distancias.

Solución:

Mi forma favorita de abordar este tipo de problemas, salvo que tenga muy clara su visualización, es usar vectores.

Puesto que la escala es indiferente, voy a tomar un cubo y una esfera que resulte cómodo de tratar. Dicho de otra manera, elegiré la escala y la ubicación del origen de coordenadas de una manera cómoda. El origen estará en el centro del cubo, y los ejes paralelos a las diferentes aristas del cubo.

La esfera estará centrada en el (0, 0, 0) y su radio será 1. Así, cualquier punto de su superficie tendrá una distancia de 1 al centro, es decir, si x, y y z son sus coordenadas, tendremos que x² + y² + z² = 1.

El cubo lo situaremos de forma que los puntos de sus caras serán paralelos a los planos principales del espacio, es decir, que todos los puntos de una cara (llamémosla A) tendrán, por ejemplo, la coordenada x = 1, mientras que la coordenada y y la coordenada z tendrán un valor entre –1 y 1 en ambos casos. La cara opuesta (B) tendrá la coordenada x = –1, y de nuevo las otras dos un valor entre –1 y 1. Las otras cuatro caras se caracterizarán de la misma forma, pero la coordenada que permanecerá constante en dos casos será y (C la positiva y D la negativa), y en otros dos z (E la positiva y F la negativa). Este cubo tiene lado 2, y está claro que la esfera está inscrita, pues es tangente a cada una de las seis caras exactamente en el centro.

Un punto cualquier de la esfera será (x, y, z) con la condición x² + y² + z² = 1, como ya hemos dicho.

La distancia del punto a la cara A será 1 – x, porque el punto más próximo de la cara a éste tiene 1 de coordenada x, mientras que la y y la z son iguales a las del punto, evidentemente. La diferencia entre ambos puntos sólo tiene componente x, y este valor es positivo.

Por la misma razón (punto más próximo), la distancia a B será x + 1, la de C, 1 – y, la de D y + 1, la de E 1 – z y la de F z + 1.

El apartado (a) consiste en sumar esas seis distancias, así que 1 – x + x + 1 + 1 – y + y + 1 + 1 – z + z + 1 = 6, es decir que claramente es una constante.

El apartado (b) requiere probar que (1 – x)² + (x + 1)² + (1 – y)² + (y + 1)² + (1 – z)² + (z + 1)² = 1 – 2x + x² + 1 + 2x + x² + 1 – 2y + y² + 1 + 2y + y² + 1 – 2z + z² + 1 + 2z + z² = 6 + 2(x² + y² + z²) = 6 + 2 = 8. Es sencillo ver que las partes lineales se contrarrestan y la suma de las partes cuadráticas son constantes por estar sobre una esfera.

El apartado (c) es algo más pesado, ya que necesita que sepamos desarrollar (1 + h)³ para cualquier valor positivo o negativo de h. Este desarrollo se puede hacer multiplicando polinomios, o bien con lo que estudiamos en bachillerato de las potencias de los binomios, y se obtiene 1 + 3h + 3h² + h³, donde los términos que pueden tener signos positivos o negativos son exclusivamente el segundo y el cuarto (aquellos en los que la potencia de h es impar).

De esta forma, (1 – x)³ + (x + 1)³ + (1 – y)³ + (y + 1)³ + (1 – z)³ + (z + 1)³ = 6 + 3x – 3x + 3y – 3y + 3z – 3z + 6x² + 6y² + 6z² + x³ – x³ + y³ – y³ + z³ – z³ = 6 + 6(x² + y² + z²) = 6 + 6 =12.

Es muy probable que las sumas de potencias cuartas ya no salga constante, ya que no tenemos la garantía de que la suma de las cuartas potencias de las tres variables sea constante. De hecho, si tomamos un par de puntos, como por ejemplo (1/3, 2/3, 2/3) y (1, 0, 0), que cumplen claramente la condición que se pide, podemos comprobar que (1 – x)⁴ + (x + 1)⁴ + (1 – y)⁴ + (y + 1)⁴ + (1 – z)⁴ + (z + 1)⁴ da, en el primer caso, 508/27, algo menos de 19, mientras que en el segundo da 20. Está claro que esa suma de potencias no será constante, por tanto.