Los partidos de la vigésimo primera edición del mundial de fútbol masculino de Rusia siguen registrando audiencias espectaculares. Como en ediciones anteriores, y en este caso hasta el 15 de julio que se celebrará la gran final, el Mundial suscita, entre otros aspectos, un sinfín de apuestas estrambóticas, polémicas arbitrales, pasiones nacionales, el show de Maradona, críticas a jugadores, entrenadores y presidentes de federaciones, divertidos memes y titulares llamativos como el de “Alemania no supera la maldición del campeón en la fase de grupos”, refiriéndose a la eliminación de ayer de Alemania en la primera fase del torneo.

Ciertamente, bajo el formato actual, Francia, Italia y España también cayeron en la primera ronda (en 2002, 2010 y 2014, respectivamente) cuando afrontaron un nuevo mundial para defender su corona, pero también es cierto que Brasil sí que superó la primera fase en 2006 habiendo ganado la edición previa. Encontrarnos esta excepción de Brasil en los últimos cinco mundiales (únicamente son los últimos cinco mundiales en los que se ha utilizado el formato actual) podría llevar a cuestionarnos el uso de la palabra maldición, que en cualquier caso queda muy llamativo en un titular de prensa.

El caso es que el hecho de que el campeón de la edición anterior tenga tantas dificultades para superar la primera fase (cuando a priori es uno de los grandes candidatos a superarla sin grandes dificultades), unido a que tengamos una excepción en la supuesta maldición del campeón, me ha llevado a pensar en el peligro de sacar conclusiones rápidamente y, en particular, dada mi profesión, a recordar algunos casos especialmente significativos que llevaron a no poder generalizar alguna propiedad matemática que “parecía” funcionar indefinidamente (esto es, para una cantidad infinita de valores enteros)… y es que la inducción se utiliza muy a menudo en matemáticas, pero se hace necesario emplearla correctamente. Veamos algunos ejemplos de ello.

• El gran matemático G. W. Leibniz probó en el siglo XVII que:

> n^3-n es divisible por 3 para todo n natural;
> n^5-n es divisible por 5 para todo n natural
> n^7-n es divisible por 7 para todo n natural

Como en el caso de la “maldición” del campeón en la fase de grupos (recordemos, Francia, Italia y España), disponemos aquí también de tres casos que podrían llevarnos a pensar en la aparente propiedad:

“Si k es impar, n^k-n es divisible por k para todo n natural.”

Sin embargo, Leibniz probó posteriormente que:

2^9-2=510 no es divisible por 9,

lo que desmonta la afirmación genérica.

• Un ejemplo, más conocido que el anterior, hace referencia a los números de la forma 2^{2^n}+1, llamados números de Fermat, que sabemos que son números primos para los primeros cinco casos n=0,1,2,3,4 (por tanto, más casos que los que proporcionan la “maldición” del campeón en la fase de grupos). En efecto:

> Si n=0, obtenemos 2^{2^0}+1=3 que es primo;
> Si n=1, obtenemos 2^{2^1}+1=5 que es primo;
> Si n=2, obtenemos 2^{2^2}+1=17 que es primo;
> Si n=3, obtenemos 2^{2^3}+1=257 que es primo;
> Si n=4, obtenemos 2^{2^4}+1=65537 que es primo;

Sin embargo, L. Euler demostró en el siglo XVIII que:

2^{2^5}+1 = 4294967297 = 641 · 6700417 no es primo.

Por cierto, si no os gusta el fútbol y estáis estos días ociosos, podéis probar a responder de forma justificada a las siguientes preguntas en relación a este ejemplo: ¿Hay infinitos números de Fermat que sean primos? ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)? En este caso no os puedo proporcionar la respuesta ya que se trata de dos conocidos problemas aún sin resolver 🙂

• La propiedad que os muestro en la imagen siguiente (cierta para n<105 pero que falla en el caso n=105) se terminó de clarificar cuando en 1941 se publicó la solución proporcionada por V. K. Ivanov.

• Otro ejemplo en el que el patrón se rompe es el que os muestro en la siguiente figura. En concreto, la pauta se rompe en la octava integral impropia cuyo resultado es un valor cercano a π/2, pero no es π/2. Esto muestra la necesidad de ser prudentes con nuestras afirmaciones:

• En un artículo de 2006 por D. H. Bailey, J M. Borwein, V. Kapoor y E. W. Weisstein, y gracias a la ayuda del utilizado programa Mathematica (con la opción especial de calcular 100 dígitos de la parte decimal de una constante requerida), se hacía alusión a que el valor de la expresión que aparece en la siguiente imagen difiere de π/8 únicamente a partir del decimal número 42. Casi nada al aparato…

• Decimos que un número entero es un “cuadrado perfecto” cuando es el cuadrado de algún otro (esto es, un número cuya raíz cuadrada es un número natural). Como de nuevo muestra este ejemplo, no basta comprobar la veracidad de una propiedad para unos cuantos valores de n. En este caso, el ordenador nos indica que 991n^2 + 1 no es un cuadrado perfecto para n=1,2,3,…, 12055735790331359447442538766, pero ¡¡¡ sí lo es para 12055735790331359447442538767 !!!

• En 1772 Leonhard Euler se dio cuenta que el polinomio cuadrático P(n)=n^2+n+41 proporciona números primos para n=0,1,…,39. Sin embargo, P(40)=1681=41·41. (De hecho, P(n)=n·(n+1)+41 lo que significa que si n es múltiplo de 41 o n+1 es múltiplo de 41 entonces P(n) ya no es primo).

De hecho, P(n)=n^2+n+p genera números primos consecutivos únicamente para seis valores primos de p (los afortunados de Euler), y entre ellos encontramos a p=41.

• Os muestro otro interesante ejemplo a través del llamado problema de la región perdida. Señalemos n puntos sobre una circunferencia de tal modo que al trazar todas las cuerdas posibles que los unen de dos en dos no haya tres cuerdas concurrentes. ¿En cuántas regiones queda dividido el círculo por estas cuerdas? Podemos comprobar que para n=2, 3, 4 y 5 puntos resultan 2 = 2^1 , 4 = 2^2 , 8 = 2^3 y 16 = 2^4 regiones, respectivamente. Sin embargo, para n=6 sólo resultan 31 regiones y no 2^5=32, de ahí el nombre del problema. Entre partido y partido del mundial, retamos al lector a encontrar la explicación de este hecho (si estáis interesados en la resolución también me podéis escribir y os la proporciono).

En definitiva, espero haber hecho hincapié en el peligro de sacar conclusiones rápidamente. Por cierto, ¿ocurrirá lo mismo en la próxima edición del mundial de fútbol? ¿entrará de nuevo en juego la “maldición” y tendremos eliminación del campeón en Catar2022? Desde luego, lo que ya sabemos a estas alturas es que no podremos dar por hecho que el que tenga todas las papeletas para franquear la siguiente fase vaya realmente a superarla.

Escrito por Juan Matías Sepulcre

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima octava edición, también denominada 9.2, está organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss. Finalmente el post quedó en segunda posición de esta edición con 41 puntos recibidos.