Problema 7 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

a) Para una función polinómica de segundo grado p(x) = x² + ax + b con coeficientes a y b enteros, existen dos números diferentes m y n que cumplen p(m) = p(n) = 2017. Demuestra que no existe ningún número entero z que cumpla p(z) = 2018.

b) Dar un ejemplo de una función polinómica q(x) con coeficientes enteros para la cual existan tres números enteros n, m y z que cumplan q(m) = q(n) = 2017 y q(z) = 2018.

c) Para una función polinómica de grado n f(x) = xⁿ + … con coeficientes enteros, existen tres números enteros diferentes m, q y r, que cumplen f(m) = f(q) = f(r) = 2017. Demuestra que no puede haber ningún número entero z que cumpla f(z) = 2018.

Solución: Aquí.