Problema 1 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Karen Uhlenbeck, la primera mujer que ha ganado el premio Abel, quiere dar cuatro libros a sus tres estudiantes de geometría: Ana, Bernat y Carla.

Si quiere repartirlos todos. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana reciba dos libros?

(Cuidado, hay varias respuestas debido a la ambigüedad del planteamiento).

Solución:

Como ya he añadido en el enunciado, admite varias soluciones, y todas son válidas, ya que admite varios planteamientos, según la intención del que hace el reparto.

Para empezar, el reparto no puede ser equitativo, pero si Karen quiere hacerlo lo más equitativo posible, entonces dará a cada uno un libro, y sorteará entre los tres el cuarto libro, de forma que la probabilidad de que sea Ana la que recibe 2 sería en ese caso de ⅓ (y no es posible que reciba más de 2).

Por otra parte, puede que elija al azar alguno de los repartos posibles, teniendo en cuenta que puede dar los libros de las siguientes formas: (4, 0, 0), (3, 1, 0), (3, 0, 1), (2, 2, 0), (2, 1, 1), (2, 0, 2), (1, 3, 0), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 0 , 3), (0, 4, 0), (0, 3, 1), (0, 2, 2), (0, 1, 3), (0, 0, 4), un total de 15 formas, y en ese caso, el número de formas en las que Ana recibe exactamente 2 libros es de 3, por lo que la probabilidad será 3/15 = 1/5 (aunque en otros tres casos recibe más de dos libros, por lo que se podría también afirmar que recibe dos, y considerando esa posibilidad la probabilidad pasaría a ser 6/15 = 2/5, exactamente el doble).

Pero también puede ser que sortee entre los tres estudiantes cada uno de los cuatro libros, en cuyo caso tendríamos que cada uno de los libros podría tocarle a Ana con una probabilidad de ⅓, y no tocarle con una probabilidad de ⅔.

Analizando todas las posibles secuencias de sucesos con los 16 libros (es mejor hacerlo en forma de árbol, bifurcándose en cada caso que le toca o que no), en ese caso tendríamos el siguiente estudio: La probabilidad de que a Ana le tocasen los dos primeros libros y ninguno de los otros es de 4/81, la probabilidad de que le tocasen el primero y el tercero (y ninguno de los otros) es idéntica, y así sucesivamente (hay seis posibles parejas diferentes de libros), por lo que tendríamos una probabilidad de 6·4/81 = 8/27 de que Ana recibiera exactamente dos libros. (Si queremos entender que lo que se busca es la probabilidad de que reciba al menos dos libros, tendríamos que hacer un cálculo algo más complejo, y tendríamos que nos da un poco más, 11/27).

Como conclusión, las respuestas dependen de cómo entendamos que se va a hacer el reparto, y también de que entendamos que la cantidad de libros que debe recibir Ana es exactamente dos, o al menos dos. Y la probabilidad oscila bastante según el caso: Exactamente dos, 1/3, 1/5, 8/27 y al menos dos 1/3, 2/5, 11/27.