Problema 3 del nivel B de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Consideramos 13 números enteros consecutivos y las afirmaciones siguientes:

a) El número central es la media de los que ocupan las posiciones 6ª y 8ª.

b) La suma de todos los números es divisible por 13.

c) Al menos cuatro de ellos son divisibles por 3.

d) Siete son pares.

e) La mediana de esta serie de números es la media de los dos extremos.

¿Cuáles de estas afirmaciones no son siempre verdaderas?

Solución:

(a) Es cierta, ya que si n es el número central, los de las posiciones 6 y 8 son n – 1 y n + 1, y claramente n = ((n – 1) + (n + 1))/2.

(b) Otra afirmación cierta. Veamos cómo nos aseguramos.

Para sumar 13 números consecutivos, se puede emplear la estrategia de la suma de una progresión geométrica, y tendremos que (llamando n – 6 al primero y n + 6 al último, tomando la idea del apartado anterior) la suma será ((n – 6) + (n + 6))·13/2 = 2n·13/2 = 13n.

Evidentemente, será 13 veces el número central, luego será un múltiplo de 13.

También se puede confirmar para un ejemplo, y, puesto que para lograr otro, basta sumar la misma cantidad a cada uno de los 13 números, siempre será múltiplo de 13 si uno (que se puede confirmar manualmente) lo es.

(c) De nuevo es cierto. Para convencernos hay que tener en cuenta que los múltiplos de 3 aparecen cada 3 números y pensar en los casos más extremos.

En efecto, si empezamos por el siguiente a un múltiplo de 3, que es el caso en el que menos abundantes podrían ser, ya que habría dos no múltiplos antes de encontrar el primero, al llegar al que ocupa la posición 12 tendríamos ya el cuarto múltiplo de 3.

Si empezamos en el anterior a un múltiplo de 3, en la posición 11 encontraríamos ya el cuarto.

El caso en el que más múltiplos de 3 encontramos es 5, si empezamos por un múltiplo de 3, ya que en ese caso en la posición 10 encontramos el cuarto, y en la 13 habría otro más.

(d) En este caso, la afirmación es falsa, ya que podemos hay un par cada dos números, y podemos empezar con un número impar y obtener siete impares y seis pares, por ejemplo 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13.

(e) Es cierta la afirmación, como en el caso (a). De nuevo, llamando n al valor central (mediana), los extremos serían n – 6 y n + 6, con lo que la media sería ((n – 6) + (n + 6))/2 = 2n/2 = n.