Problema 3 de la Olitele 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Berta y Bernat están aprendiendo a programar un robot. Le deben hacer recorrer d metros y lo han programado para que alcance v m/s de velocidad, pero no lo han logrado del todo y el robot se mueve más rápido, consiguiendo (v + x) m/s de velocidad.

Se sorprendieron bastante cuando, al cabo de t segundos desde que el robot había iniciado su marcha, exactamente en el momento que debía llegar a su destino, les notificaron desde la llegada que hacía s segundos que el robot había sobrepasado el punto donde debía acabar su trayecto.

Hicieron girar inmediatamente el robot 180º y lo reprogramaron, pero ahora la velocidad real del robot tampoco fue la acertada, sino que iba más despacio de lo que querían. En el camino de vuelta su velocidad era, curiosamente, (v – x) m/s. ¿Cuánto tiempo después de girar llegó al punto que debía ser el final trayecto inicial?
Solución:

Como el robot debe recorrer d metros en t segundos a velocidad v, tenemos que inicialmente d = t·v.

Sin embargo, en el primer recorrido la velocidad es v + x, y tarda s segundos menos de lo debido, es decir, d = (t – s)·(v + x) = tv – sv + tx – sx.

Por lo tanto, tv = tv – sv + tx – sx, por lo que sv + sx = tx, es decir, x = sv/(t – s), o bien s = tx/(v + x).

En esos s segundos ha recorrido, a la velocidad de v + x, s(v + x) = tx.

Ahora bien, cuando inmediatamente le hacen dar media vuelta, su velocidad es de v – x, y recorre una distancia de tx, como hemos visto. El tiempo que va a emplear, entonces, es de tx/(v – x). Depende de los datos en función de los que queramos expresar esa cantidad de tiempo, la fórmula será diferente.

Si nos proporcionan, como parece ser el problema, d, v y s, entonces como x = sv/(t – s), tenemos que el tiempo que buscamos será tsv/[(t – s)(v – sv/(t – s))] = tsv/[(v(t – s) – sv)] = tvs/(vt – 2sv), y como t = d/v, entonces el tiempo será ds/(d – 2sv) = s/(1 – 2sv/d).