Problema 5 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

¿Cuántos números de cuatro cifras (es decir, desde el 1000 al 9999) tienen la propiedad de que si les restamos el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, el resultado es 999?

Solución:

Ir probando todos, uno a uno, es una forma poco matemática de encontrarlo.

Si descomponemos el número en sus cifras, será de la forma 1000a + 100b + 10c + d, y el número que resulta de invertir el orden de sus cifras será 1000d + 100c + 10b + a.

La diferencia, por tanto, será 999(a – d) + 90(b – c). Si queremos que dé 999, es fácil ver que a – d debe ser 1 y b – c debe dar 0 (ya que estamos limitados a valores para ambos factores entre 9 y -9).

Así que tendremos 9 posibles valores para a y d (recuerda que a no puede valer 0), y 10 para b y c.

En total, 90 posibilidades.

La más baja sería 1000, ya que 1000 – 1 = 999, la siguiente sería 1110, ya que claramente 1110 – 111 = 999. Por arriba, el valor más alto sería 9998, ya que 9998 – 8999 = 999.